¿Qué es el infinito? ¿Es infinito el número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo? David Hilbert, un gran matemático alemán, explicaba el concepto de infinito utilizando como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones, al que llegaban diferentes cantidades de pasajeros. Un hotel semejante, ¿podría tener todas sus habitaciones ocupadas? Bienvenidos al Gran Hotel de Hilbert.
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El gran matemático alemán David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Se lo reconoce mundialmente como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX, y ha contribuido a esa ciencia desarrollando conceptos como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hizo aportes significativos a la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general, e incluso algunos historiadores sostienen que descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein, aunque esto nunca ha sido probado. En 1900 presentó un conjunto de 23 problemas matemáticos que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Parte de su trabajo se relacionó con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, explicando algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo.
Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... y así hasta el infinito. Lo primero que tenemos que recordar es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, podemos intentar comprender las paradojas que plantea el Gran Hotel de Hilbert.
¿Son infinitas las partículas que componen el universo?
Infinito + 1
Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.
Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?
Hotel infinito, pasajeros infinitos
Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso?David Hilbert, en wikipedia
Departamento de matemáticas en Göttingen, donde Hilbert trabajaba en 1930.
Hotel infinito y pasajeros infinitos en autobuses infinitos
Así planteado, parecería que el hotel no puede llenarse nunca. Imaginemos por un momento que al Gran Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El problema exigió que la inteligente recepcionista demorase un par de segundos en encontrar una solución. Se acomodó las gafas, se arrimó al intercomunicador, y le pidió a todos los pasajeros que se encontraban en una habitación cuyo número fuese primo (números solo divisibles por si mismos o por la unidad), o alguna potencia de estos, que calculasen el resultado de elevar el número 2 a la potencia correspondiente al número de la habitación en la que se encontraban y se cambiasen a esa habitación. Esto provocó algún que otro revuelo entre los pasajeros, pero finalmente todos los implicados en el cambio llegaron a su nueva habitación.
Hecho esto, la recepcionista sonrío con aires de suficiencia y asignó a cada uno de los autobuses un número primo (distinto de 1), y a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar. Hizo que cada uno de los nuevos pasajeros calculasen el numero de habitación que le correspondía elevando el número primo correspondiente a su autobús al número impar que le tocó. Dado que existe una cantidad infinito de números primos, y un número infinito de números impares, se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones.
Números transfinitos
El relato anterior podría inducir a pensar que no puede haber un infinito mayor que otro. Pero no es así. Georg Cantor (1845-1918), otro matemático alemán, descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño o -matemáticamente hablando- no tienen el mismo cardinal. Por ejemplo, el conjunto de los racionales es numerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es. Existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, incluso los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real. Estos infinitos componen la “terrible dinastía” -como la denominó el escritor argentino Jorge Luis Borges- de los números transfinitos. Cantor designo estos “infinitos grados de infinitud” con la letra hebrea álef (de allí el título del famoso cuento de Borges) y los correspondientes subíndices. Álef subcero (o álef-0) es el simple infinito de los números naturales, que Hilbert utilizó como base para las paradojas de su Gran Hotel. Álef-1 es el infinito de los números reales, que incluyen a los irracionales y los trascendentes, como pi, y no son numerables. Existen infinitos “Álef”, y constituyen un concepto cuya comprensión suele demandar unas cuantas horas de meditación por parte de los simples mortales.
David Hilbert falleció el 14 de febrero de 1943 en Göttingen, Alemania, y dicen que su espíritu suele aparecerse por las noches en alguna de las infinitas habitaciones de su Gran Hotel. -
¿Y tú, qué opinas?
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#1fire sábado, 11 de julio de 2009, 15:32
increible historia me gusto el final "...dicen que su espíritu suele aparecerse por las noches en alguna de las habitaciones de su Gran Hotel."
Cerebro el de este señor algo muy dificil de comprender lo de los infinitos pero asi son las matematicas y las mujeres XD buenisima nota -
#2
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#3designjs sábado, 11 de julio de 2009, 15:51
Hay gente que le gusta enredarse la vida......que desayunaron esa mañana que empezaron a pensar eso.......¿le pagan por eso?................esa secretaria suena a un monton de empleados de la vida real que debemos trabajar con las uñas y resolver grandes enigmas en cuestion de minutos.....ahora despues de entender lo de los infinitos (lo dudo).........que $&#"&&/ me sirve eso en el condominio que administro de 242 casas si no es infinito su calculo......cada loco con su tema.....
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#6Mr X sábado, 11 de julio de 2009, 17:33
Ya me daba la impresión a mí que no se puede llenar todas las habitaciones del pedazo de hotel ese (pobres inquilinos, lo que tendrán que caminar por esos pasillos...).
Relacionando los números naturales (Alef-0) con los reales (Alef-1) lo entiendo mejor (me recuerda a las clases de matemáticas y ciertas asignaturas de la carrera).
Lo que no sé... ¿qué característica tienen los sucesivos Álef de ahí en adelante? ¿Por casualidad Álef-2 está compuesto por los números complejos? (Me da que esto último que dije es una burrada, jeje).
En resumen: ¿alguna explicación clara para los distintos Álef-X que vienen después? -
#7
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#8666 sábado, 11 de julio de 2009, 18:14
Es increíble los comentarios donde los ignorantes suponen que utilizar el cerebro mas allá de cálculos elementales puede ser una pérdida de tiempo; amigos míos, si nadie se hubiera propuesto a realizar esa clase de cálculos complejos supuestamente "inservibles", dudo mucho que la ciencia hubiera avanzado al nivel de que pudieran ustedes ahora sentarse en una computadora a escribir ridiculeces.
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#9Rupert sábado, 11 de julio de 2009, 18:56
Muy buen artículo! Es de estas cosas que te quedan dando vueltas en la cabeza un buen rato. Supongo que al que le toque la del final del pasillo le van a tener que bajar la tarifa jejeje. O tendrán ascensores muy rápidos. Por otro lado nunca me habia puesto a pensar en que hay infinitos mayores que otros dependiendo de la cardinalidad del conjunto.. Excelente.
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#10Galindezcba sábado, 11 de julio de 2009, 19:06
Error simple en el texto, dos palabras se repiten al hilo:
"No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones."
Saludos.
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#11andres_net_de sábado, 11 de julio de 2009, 19:11
Estoy Deacuerdo con 666 ... y con la misma duda que Mr X jejeje.. el concepto de infinito es facil y dificil a la vez, nos tenemos que acostumbrar ( los que estudiamos carreras de ciencias e ingenieria) a los simples conceptos que dan en el estudio de Limite, porque no da tiempo de profundizar ni tampoco hay esperanzas de lograrlo xD ... uno lo acepta despues de un tiempo pero luego llegas y encuentras este tipo de conceptos e ideas que te hacen cuestionar todo.. es verdaderamente interesante pero tamb paradojico, muy buen articulo muy interesante !! =)
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#12Saul sábado, 11 de julio de 2009, 19:16
Mira 666, conformate con saber que tu entendiste el concepto, no todos los mortales estan preparados para esta clase de conocimientos, la mayor parte se concentra en el pop y en politica, solo unos cuantos privilegiados con IQ superior a 135 comprenden el sector de inteligencia mundial, estos conceptos filosoficos matematicos son el fundamento para investigaciones como multiversos, fisica cuantica, quimica molecular.
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#13Mr X sábado, 11 de julio de 2009, 19:54
#12¿IQ = 135? Ojalá se tenga que bajar un poquito el nivel... Yo no creo que llegue a tanto! :-D
(y creo que lo entiendo).
PD @andres_net_de: Por lo menos en la ingeniería que estudio sí se comentó por encima los distintos tipos de infinito. Pero me sigue quedando la duda sobre los Alef-2 en adelante. Ningún valiente/sabio se atreve? ;-) -
#14why23 sábado, 11 de julio de 2009, 20:44
Saul... estem... solo tengo 15 años y entiendo perfectamente lo que planteó este señor, no hay que ser un genio, solo usar un poco las neuronas, jeje, y pues esto: "No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones" me recuerda a la expancion del universo, y pues creo que entonces de ser asi, si no existe un infinito numero de particulas, el universo podria estar delimitado por la cantidad de particulas existentes en el, y pues no sabia que existian diferentes niveles de infinidad.. siempre se aprende algo nuevo en neoteo... :)!! jeje xD salu2! buena not... Leer más
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#15jonattan sábado, 11 de julio de 2009, 22:22
no soy un fan de las matematicas, y no me llevo muy bien con ellas, pero he de admitir que son increibles y me agrado mucho este articulo, lo disfrute al maximo. Primera vez que comento un articulo, tremendo trabajo Ariel, te la comiste!!!
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#16dsgds sábado, 11 de julio de 2009, 23:09
#2El no tendría PlayStation pero tenía cerebro. Y por tu comentario creo que tú viceversa
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#17Karavanu sábado, 11 de julio de 2009, 23:22
ooh que tema.. como en los viejos tiempos de esta pagina.. ya parecia una web de publicidad en estos ultimos meses, pero que bien que se reviven este tipo de temas.. saludos Ariel
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