Imagina que un desconocido se te acerca y te entrega un sobre cerrado con dinero. Antes de que reacciones, te ofrece cambiarlo por otro que lleva consigo, asegurándote que el nuevo puede contener el doble de dinero que el primero, o bien la mitad. ¿Qué deberías hacer? Aunque sea poco probable que alguien te haga una oferta así, en un concurso o juego podrías enfrentarte a una situación similar. Entonces estarías ante el problema de los dos sobres, una curiosa paradoja estadística que conviene conocer.
El dilema
El planteamiento es el siguiente: te dan a elegir entre dos sobres con dinero, con la única pista de que uno contiene el doble que el otro. Una vez que eliges uno, te ofrecen la posibilidad de cambiarlo por el otro. La pregunta es si te conviene cambiar o quedarte con tu elección inicial.
El razonamiento que parece aconsejar el cambio
Supongamos que la cantidad de dinero en el sobre que has elegido es A. Entonces, el otro sobre tiene un 50% de posibilidades de contener 2A y un 50% de contener A/2. La “esperanza matemática” de la cantidad que contiene el otro sobre se calcula así: 0,5*2A + 0,5*A/2 = 1,25A. Es decir, si cambias, obtienes un 25% más, en promedio.
Pero el mismo razonamiento se puede aplicar a la inversa: si hubieses elegido el otro sobre, también te diría que cambiando obtienes un 25% más. Parece que siempre conviene cambiar, lo que resulta contradictorio.
El fallo del razonamiento
Veamos un ejemplo con números. Supón que en tu sobre hay 1000 euros. Entonces, el otro puede contener 500 o 2000 euros. Si cambias, o pierdes 500 o ganas 1000. Como lo que puedes ganar es el doble de lo que puedes perder, parece que cambiar es siempre ventajoso. Pero el argumento es simétrico: si hubieses cogido el otro sobre, la situación sería la misma. Incluso podrías cambiar de sobre indefinidamente, siempre con la ilusión de que el siguiente te reportará más.
La clave está en que el fallo se produce al suponer que lo que se gana es mayor que lo que se pierde. Si A es la cantidad de tu sobre y el otro tiene 2A o A/2, la diferencia entre los importes es A. Si ganas, ganas A; si pierdes, pierdes A. Por tanto, no hay ninguna ventaja en cambiar. La probabilidad de haber elegido el sobre con más dinero es la misma que la de haber elegido el otro, así que la paradoja desaparece. En resumen, si alguien te ofrece un sobre con dinero, puedes tomarlo y marcharte sin esperar a que te ofrezcan cambiarlo por otro: las probabilidades de ganar o perder son idénticas.
