El prolífico matemático John Horton Conway, muy conocido por sus aportes a la teoría de conjuntos, de nudos, de números, de juegos y de códigos, propuso el denominado “problema del ángel” en 1982. Tiene dos jugadores -el ángel y el demonio- y se juega sobre un tablero de ajedrez de tamaño infinito. Sus reglas son muy sencillas, y el diablo debe intentar confinar al ángel mientras este evita ser atrapado. Pero la verdadera dificultad de este problema consiste en determinar si existe una estrategia tal que asegure que uno de los dos contrincantes pueda ganar siempre.
Si hablamos de juegos de tablero, parece que cuando más simples son sus reglas, más atractivos resultan. El ajedrez, uno de los más complejos juegos de tablero que existen, tiene reglas tan simples que cualquiera puede aprenderlas en cinco minutos. Sin embargo, aplicarlas correctamente o encontrar una estrategia que asegure la victoria es una tarea enormemente compleja.
Reglas del problema del ángel
El problema fue propuesto por Conway en 1982 en el libro Winning Ways (Maneras de ganar). Aunque es más conocido por haber creado en 1970 el “juego de la vida”, Conway es un prolífico matemático con importantes aportes en la teoría de conjuntos, de nudos, de números, de códigos y de juegos. En el juego participan dos jugadores, llamados respectivamente “el ángel” y “el diablo”. Se juega sobre un tablero de ajedrez de tamaño infinito. El ángel tiene “poder k”, donde k es un número natural mayor o igual a 1, acordado al inicio. Al comenzar, el tablero solo contiene dos fichas: el ángel en el centro (aunque al ser infinito, no tiene mucho sentido hablar de “centro”) y el diablo en cualquier otra casilla.
En cada turno, el ángel salta a otra casilla vacía, con la condición de que dicha casilla, moviéndose como un rey del ajedrez, se encuentre a k casillas de su posición anterior y no esté marcada. Cuando es su turno, el diablo puede “marcar” una casilla cualquiera en la que no esté el ángel. El ángel puede saltar sobre casillas bloqueadas, pero no puede terminar su recorrido sobre una de ellas. El diablo gana si logra que el ángel no pueda moverse, y el ángel gana si puede sobrevivir indefinidamente. La pregunta del millón es: ¿Puede un ángel con poder suficientemente alto ganar?
Para asegurar que existe una estrategia ganadora deberíamos demostrar que, o bien el diablo puede forzar una victoria en un número finito de jugadas, o que el ángel siempre dispone de un movimiento al que puede recurrir para evitar perder, en cuyo caso su “estrategia ganadora” sería tan simple como escoger siempre este movimiento. Lamentablemente, la solución dista mucho de ser fácil de encontrar.
El mismo Conway ofreció una recompensa por una solución general a este problema: 100 dólares por una estrategia ganadora para el ángel y 1000 dólares por una demostración de que el diablo puede ganar cualquiera que sea el poder del ángel. Esto hizo que cientos de aficionados se esforzaran por encontrarla. Como ocurre con otros juegos de tablero, es posible aplicar las reglas a tableros de más dimensiones. En efecto, aunque el juego original estaba pensado para tableros bidimensionales, las primeras demostraciones de estrategias exitosas (pero parciales) se encontraron para dimensiones mayores a dos.
Resultados en tres dimensiones
En tres dimensiones se pudo demostrar que si el ángel se mueve siempre aumentando su coordenada Y, y el diablo sólo puede jugar moviéndose sobre dos planos, entonces el ángel tiene una estrategia ganadora. Por supuesto, nadie que jugase “de verdad” con el diablo se iba a limitar a mover de una forma más tonta, por lo tanto el ángel estaba muy lejos de tener una estrategia segura en su poder. Poco después se demostró que el bueno de la película podía ganar en 3D, siempre que su poder fuese mayor o igual que 13, sin importar de qué forma se moviese el diablo.
Resultados en dos dimensiones
En cuanto al problema original, en dos dimensiones, fue el propio Conway quien hizo los primeros avances hacia la demostración buscada. En 1982 demostró que un ángel con k=1 siempre pierde frente al diablo. Ese mismo año también encontró que si el ángel nunca disminuye su coordenada Y, entonces el diablo siempre puede ganar. Por último, en 1996, demostró que si el ángel siempre aumenta su distancia desde el punto de origen, entonces el diablo tiene una estrategia ganadora. Las situación, evidentemente, no pinta nada bien para el ángel.
A pesar de todos los esfuerzos, no existe una demostración que -jugando sobre un tablero 2D- asegure la victoria de ninguno de los dos contrincantes. Esto, que puede ser visto como un fracaso por algún pesimista, es en realidad una prueba de lo entretenido que puede resultar un juego sencillo como este. La inexistencia -al menos hasta ahora- de una estrategia ganadora asegura que ambos jugadores tienen la oportunidad de ganar, algo indispensable para que un juego sea viable. Mientras que miles de jugadores disfrutan de sus partidas de “Ángeles y Demonios”, cientos de matemáticos se esfuerzan para encontrar una demostración que -quizás- ni siquiera exista.
