La esponja de Menger

¡Su superficie es infinita y su volumen nulo!

Existen objetos sumamente complejos que pueden ser definidos matemáticamente utilizando un conjunto de reglas relativamente simples. La esponja de Menger es uno de ellos. Se trata de un conjunto fractal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger, y es una “versión tridimensional” de la “alfombra de Sierpinski”. Este inocente cubo posee algunas características absolutamente desconcertantes: ¡su superficie es infinita y su volumen nulo!

La esponja de Menger (también llamada cubo de Menger) es un fractal -un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas- descrito por Karl Menger en 1926, y se trata de la versión tridimensional de la alfombra de Sierpinski. Para entender cómo se construye una esponja de Menger necesitamos primero entender la forma en que se obtiene una alfombra de Sierpinski, otro fractal que fue propuesto por Wacław Sierpiński en 1916. Para obtener una alfombra de estas, se parte de un cuadrado y se lo  divide en otros 9 iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro. Luego, se repite el proceso con los 8 restantes, una y otra vez. El resultado final es una superficie repleta de agujeros de diferentes tamaños, con una superficie que tiende a cero a medida que aumenta el numero de iteraciones. ¿Cómo puede una figura bidimensional tener una superficie nula? Bien, esr es justamente uno de los aspectos más atractivos de los fractales.

Estamos acostumbrados a que los objetos tienen un número entero de  dimensiones. Una recta, por ejemplo, tiene una sola dimensión. Un cuadrado tiene dos, y un cubo tiene tres. Pero los objetos fractales como la alfombra de Sierpinski o el cubo de Menger pueden tener un número fraccionario de dimensiones. Por ejemplo, la mencionada alfombra tiene una dimensión de 1,8927… mayor a la de una recta, pero menor a la de una superficie plana tradicional.

La esponja de Menger se obtiene aplicando a un cubo un proceso similar al utilizado para crear la alfombra de Sierpinski . En el primer paso, se divide el cubo inicial en 27 cubos más pequeños (tres a lo largo, tres a lo ancho y tres a lo alto), y se eliminan los cubos centrales de cada cara y el cubo del centro. Eso nos deja con 27-6-1 = 20 cubos, a los que se les aplica una y otra vez el mismo procedimiento. El resultado es una figura que guarda un cierto parecido con una esponja de mar (de ahí su nombre) y que tiene una dimensión de  log 20 / log 3 = 2.7268…

¿Cómo puede ser que a partir de una figura de tres dimensiones como es un cubo obtengamos un “monstruo” de dimensión ligeramente menor? El secreto se encuentra en el infinito. En efecto, si solo repitiésemos el proceso de construcción de la esponja un número finito de veces, seguiríamos teniendo una cantidad finita de cubos. Pero al aplicar indefinidamente el mecanismo propuesto por Menger obtenemos el cubo inicial horadado una y otra vez por una “red de tubos prismáticos de sección cuadrada” cada vez más pequeños, que conforman una red interna similar a la que conforman nuestros capilares, venas y arterias, pero infinitamente más compleja.

Lo que era un cubo se ha convertido en una colección de segmentos orientados en las tres dimensiones posibles, un esqueleto que a pesar de estar compuesto por infinitas piezas, estas poseen un “espesor” que tiende a cero con cada iteración, lo que hace de la esponja de Menger un objeto con un volumen nulo y una superficie infinita.

La estructura de la esponja de Menger se repite a diferentes escalas.

Lejos de ser “solo una cara bonita”, estas estructuras fractales suelen tener importantes aplicaciones prácticas. Los fractales nos ayudan a modelar el tráfico en redes de comunicaciones, a comprimir las señales de audio y vídeo, a entender la forma en que crecen los tejidos o evolucionan determinadas poblaciones, o en el análisis de los patrones sísmicos. Incluso existen métodos de análisis bursátil y de mercado que se basan en los fractales. Como puedes ver, las matemáticas siempre resultan útiles y sorprendentes.

 

El cuerno de Gabriel

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Ariel Palazzesi

22 Comments

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  1. Si es fácil de entender con un ejemplo práctico: tu sueldo, cuando de él habla tu jefe tiene una superficie infinita, pero cuando te llega a fin de mes y empiezas a quitarle los gastos, tiende, dramáticamente a nulo… curioso.

  2. ESPECTACULAR este fractal!!!!!!! ……. amo los fractales… y todos tienen cosas locas como este….
    ¿sabían que mandelbrot tiene superficie finita y perímetro infinito?
    Leyeron sobre el "mandelbulbo" (o mandelbulb en ingles)??????
    QUE BUEN ARTICULO!!!!!

  3. Entiendo que neoteo es una revista digital que se dedica a publicar artículos que interesan a quienes están a dos o tres niveles por encima del personaje común (a veces 2 o 3 por debajo), artículos estos de los cuales me he hecho adicto, sin embargo, publicaciones como esta, me dejan simplemente navegando en la nebulosa, me provocan dolores de cabeza y me obligan a sumergirme en wikipedia por más de 2 horas y al final quedo mas confundido. Me hacen sentir más mediocre. Creo que si siguen publicando este tipo de artículos, van a hacer que algunos de sus lectores se suiciden.

  4. Mmmmm.. Hay un error en la entrada que habria que corregir porque sino no tendria logica:
    "¡su superficie es infinita y su volumen nulo!"

    De heco ambas TIENDEN.
    Si seguis creando agujeros, su superficie se eleva.
    Si seguis creando agujeros, su volumen (y masa) disminuyen.

    Ergo, la superficie tiende a ser infinita y el volumen tiende a ser nulo.
    Pero es imposible que pase tal como dice el titulo: si por ejemplo el volumen fuera nulo, es imposible que existiera superficie (aplicado a la fisica real de los objetos tridimensionales, sabiendo que es un objeto macizo).

    • Hola!
      Son…
      Se puede llamar "fractal" cuando el numero de iteraciones es infinito. Como dice Carlos, el problema es solo de falta de tecnologia para lograrlo.
      Si no iteras infinitas veces, simplemente tienes un cubo con 7 agujeros en el primer paso, 20 cubos con 140 agujeros en el segundo, etc….¿Se entiende?

      Recien cuando aplicas las reglas infinitas veces, los trocitos que quedan tienen un espesor igual a cero.

      Durante todo el proceso -es cierto- "tienden" a eso, pero el fractal "terminado" (algo que no podemos hacer, como tapoco podemos hacer un plano ideal o un punto ideal) realmente tiene superficie infinita y volumen nulo.
      Saludos!

      • Los fractales (dentro del que encuadraria esto), son figuras u objetos virtuales. Es importante aclarar que no existe en la naturaleza nuestra fractales de verdad, solo objetos que parecen formar esas estructuras hasta cierto nivel. Nuestra fisica real no es infinita, en algun nivel termina (llamese atomos u otras subparticulas), como es el caso de esa fruta o verdura "romanescu"/"romanescus", no me acuerdo bien el nombre, que luego del nivel celular no realiza mas las iteraciones morfologicas tan caracteristicas y peculiares.

        Ahora bien, la esponja de Menger no existe. Solo a nivel teorico se puede hablar de ella. En la noticia se la figura de real al decir "Existen objetos sumamente complejos que pueden ser definidos matemáticamente utilizando un conjunto de reglas relativamente simples." […] "su superficie es infinita y su volumen nulo", es por esto que la expresion correcta seria que tienden. Recordemos que los infinitos no existen, solo son una definicion para algo inconmensurable y carente de parangon, pero absolutamente necesarios para estipular las reglas que ya sea en tecnologia o en conocimiento, nos rodean dia a dia.

        Parece un comentario fuera de lugar y muy filosofico el mio. Pero esta clase de confusiones es la que lleva a la gente comun a pensar en la fisica como "cuestiones locas". Y despues saltan los comentarios demasiado ridiculos atribuyendole a cosas inexplicables argumentaciones fisico/matematicas que carecen de bases.

        Saludos cordiales.

  5. Ni su superficie es infinita, ni su volumen es nulo, simplemente puedes acercarte demasiado a ella encontrando siempre estructuras definidas… Y eso pasa en cualquier objeto en la vida real, solo que no tenemos la capacidad de llegar tan lejos por falta de tecnología.

  6. ¿¿¡¡¡’ . _ . ¡¡¡??? disculpen mi ignorancia pero no logro captar este tema, alquien puede explicar sobre el cubo de menger

    • hay una paradoja con el queso gruyere que tal vez te aclare un poco mas la idea: Imaginemos un pedazo de queso, de aquellos bien llenos de agujeros entonces…”Cuanto más queso, más agujeros. Cada agujero ocupa el lugar que en el que habría queso. Así, cuanto más agujeros, menos queso. Cuanto más queso, más agujeros y cuanto más agujeros menos queso. Por lo tanto, cuanto más queso menos queso”.

  7. es infinito a nivel matematico, si se fuera a hacer fisicamente, el limite de la superficie individual de una cara es un quark. con lo que la superficie infinita se limita.

  8. Hay una película Asiática que usa la esponja de menger como temática.

    La película se llama Silk. Se trata mas o menos de un grupo de científicos que logran caputrar la energia de un chico fantasma y queda alojado en un plano vacío de la esponja de Menger. Después tratan de investigar como puede dar luz en vida y como puede seguir preservando su energía después de la muerte.

    Acá les dejo dos capturas del art de la película:
    http://suspenso.blogdiario.com/img/silk.jpg
    http://subs.asia-team.net/afiche/825.jpg

  9. tiene superficie y tiene volument, si la cuenta matematica dice otra cosa es por qe no se está interpretando bien el resultado….

  10. aqui you llegue por el bendito juego de ds de Pokemon Black y N(Natural Harmonia Gropenoseque{psssfft}). Al principio me intereso el cubo que tenia en su cintura en el juego, luego busque en Bulbapedia, luego busque en Wikipedia, no entendi nada y aqui estoy. Muuuucho mejor explicado. Interesantisimo, voy a tratar de hacer uno en mi casa. Mil gracias al que hizo la investigacion de esto, ahora voy a buscar algo acerca la alfombra.

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