OpenAI zei op 8 september 2026 dat een intern AI-systeem een bewijs had opgesteld voor een singulariteit in eindige tijd in de driedimensionale, onsamendrukbare Navier–Stokes-vergelijkingen. Het bedrijf beschreef een vloeistof die aanvankelijk glad en in rust is, met een gladde externe kracht en eindige energie, en koppelde de claim aan beweringen C en D in de probleemformulering van het Clay Mathematics Institute. Een preprint van 6 oktober stelde dat de Lean-formalisering niet overeenkomt met het geschreven bewijs. OpenAI’s aankondiging beschrijft de claim en de voorwaarden.
Een singulariteit in eindige tijd betekent hier dat de oplossing van de vloeistofvergelijkingen op een eindig tijdstip haar gladheid verliest. OpenAI meldde dat ongeveer 10.000 agents tegelijk aan het resultaat werkten en dat zij het na ongeveer 88 uur bereikten. De formalisering en controle in Lean namen vervolgens nog 17 uur in beslag, met GPT-6 Astra. OpenAI rapporteerde voor dit werk ook 2,7 miljoen berichten en ongeveer 130 miljard outputtokens. Het bedrijf zei niet van plan te zijn de Millenniumprijs te claimen.
De drie resultaten hebben verschillende krachtvoorwaarden
Euler- en Navier–Stokes-resultaten zijn niet onderling uitwisselbaar. De krachtvoorwaarden bij de drie besproken resultaten verschillen:
| Resultaat | Vergelijking | Externe kracht |
| Het resultaat van Tristan Buckmaster en Levent Alpöge | Euler | Geforceerd |
| Het Euler-resultaat van OpenAI | Euler | Ongeforceerd |
| Het Navier–Stokes-resultaat van OpenAI | Navier–Stokes | Gladde externe kracht |
Scientific American beschreef het Euler-resultaat van Buckmaster en Alpöge als geforceerd en dat van OpenAI als ongeforceerd. OpenAI beschreef zijn Navier–Stokes-constructie als gebaseerd op een gladde externe kracht. De voorwaarden bij die resultaten maken duidelijk waarom ze niet als één en hetzelfde bewijs kunnen worden behandeld.
Wat de kritiek op Lean betreft
Lean is een bewijsassistent: software die een formeel opgeschreven wiskundige redenering controleert. Die controle geldt voor de stelling zoals die in Lean is vastgelegd. De vraag is vervolgens of die formele stelling overeenkomt met de bewering in de geschreven uitleg.
In het abstract van hun preprint van 6 oktober stellen Alexander Bastounis, Fabian Circelli en Anders C. Hansen dat OpenAI’s Lean-formalisering niet overeenkomt met het bewijs in natuurlijke taal. Hun abstract op arXiv richt zich daarmee op de aansluiting tussen de formele versie en de geschreven tekst.
De herkomst van het bewijs blijft onderwerp van discussie
In een reconstructie die Scientific American op 22 oktober publiceerde, meldde het tijdschrift dat Buckmaster vermoedde dat eerder werk van hem en Alpöge invloed had gehad op OpenAI’s werk. OpenAI zei dat gebruikersinvoer na 3 juli 2026, waaronder Buckmasters gebruik van Codex en ChatGPT, het model of de wiskundige resultaten niet kon hebben beïnvloed.
Scientific American beschreef OpenAI’s Navier–Stokes-constructie als afwijkend van het Spaanse, krachtgebaseerde programma. Buckmaster zag OpenAI’s werk als voortzetting van een eerder spoor. Op 7 oktober trok OpenAI drie andere wiskundige manuscripten terug na een tekenfout; NeoTeo berichtte eerder over die afzonderlijke intrekking.
