Die Entstehung komplexer Muster aus relativ einfachen Regeln ist etwas, das wir in der Mathematik bis zum Überdruss gesehen haben. Wahre Rätsel, die Experten den Kopf zerbrechen lassen, führen zu allerlei Studien und werden jahrzehntelang analysiert. Das sogenannte „Conways Soldatenproblem“ ist ein hervorragendes Beispiel. Ein in zwei Teile geteiltes Feld, Soldaten, die sich ähnlich wie Dame-Steine bewegen, und ein einziges Ziel: Vorrücken in feindliches Gebiet. Auf den ersten Blick scheint es zu einfach, aber sobald wir anfangen, Bewegungen zu sammeln, merken wir, dass es sich um eine verlorene Schlacht handelt …
Conway und seine Denksportaufgaben
John Horton Conway ist einer dieser fabelhaften Mathematiker, zu denen wir immer wieder zurückkehren. Leider hat er uns Anfang April aufgrund von Komplikationen im Zusammenhang mit COVID-19 verlassen, aber wir werden ihn immer wegen seiner außergewöhnlichen Rätsel und Denkaufgaben in Erinnerung behalten. Es ist wahrscheinlich, dass einige unserer Leser an „Conways Spiel des Lebens“ oder an das berühmte Engelproblem denken. Es gibt auch „Brotes“, das er zusammen mit seinem Kollegen Michael S. Paterson entworfen hat, und den „Algorithmus vom Ende der Welt“, der uns hilft, mental zu berechnen, welcher Wochentag ein beliebiges Datum war oder sein wird.
Die Regeln des Spiels
Heute befassen wir uns mit seinem „Soldatenproblem“. Stell dir ein Schlachtfeld vor, das in zwei Teile geteilt und in Felder wie ein Dame- oder Schachbrett unterteilt ist. Auf der einen Seite hast du eine Gruppe von Soldaten, die sich nur wie Dame-Steine bewegen können, also springen und eine andere überspringen, um sie zu schlagen, aber mit einer Einschränkung: Der Schlag ist nur vertikal oder horizontal erlaubt, nicht diagonal. Das Ziel ist es, so weit wie möglich in feindliches Gebiet vorzurücken. Es ist wichtig zu betonen, dass die Übung weder die Größe des Bretts noch die Anzahl der verfügbaren Soldaten begrenzt. 10, 20, 50, 750 ... egal.
Warum es unmöglich ist
Also ... die Regeln sind einfach. Warum ist es ein Problem? Kurz gesagt, weil es unmöglich ist, die fünfte Reihe im feindlichen Gebiet zu erreichen. Für die erste Reihe benötigst du nur zwei Soldaten (ein Zug). Für die zweite Reihe steigt die Zahl auf vier (drei Züge). Die dritte Reihe erfordert acht Soldaten (sieben Züge) und die vierte zwanzig (19 Züge). Aber die fünfte Reihe bricht alles. Egal wie viele Soldaten du hast, egal wie viele Züge du machst – sie sind irrelevant. Die fünfte Reihe ist mathematisch unerreichbar ... es sei denn...
… dass wir betrügen. Wenn man die Regeln ein wenig verbiegt, um den Soldaten diagonale Sprünge zu erlauben, erstreckt sich der Zugang bis zur achten Reihe, aber nicht zur neunten. Mit einer endlichen Anzahl von Zügen ist das Ergebnis nie zufriedenstellend, aber Simon Tatham (Erfinder von PuTTY) und Gareth Taylor haben bewiesen, dass es möglich ist, die fünfte Reihe mit einer unendlichen Anzahl von Zügen zu erreichen.
Die Leute von Numberphile haben dem Soldatenproblem viel Zeit gewidmet, und eines ihrer Videos dauert über 40 Minuten:
Der goldene Schnitt und andere Wunder
Und hinter all diesem Chaos, hinter dieser Unmöglichkeit, verbirgt sich nichts Geringeres als der goldene Schnitt, den wir bereits erkundet haben. Von einem Damebrett mit vereinfachten Regeln zu einer unmöglichen Herausforderung, die Gehirne zermürbt und selbst die vorbereitetsten Mathematiker in Erstaunen versetzt. Aber geh nicht! Als Alternative zur Unendlichkeit haben wir auch sehr große Zahlen, angefangen mit der Graham-Zahl (die nicht ins Universum passt) und der fabelhaften Mertens-Vermutung.
