L'apparition de motifs complexes à partir de règles relativement simples est un phénomène que l'on observe à satiété en mathématiques. De véritables énigmes, qui laissent les experts perplexes, donnent lieu à toutes sortes d'études et sont analysées pendant des décennies. Le fameux « Problème des soldats de Conway » en est un excellent exemple. Un champ divisé en deux, des soldats qui suivent des mouvements similaires à ceux du jeu de dames, et un seul objectif : avancer en territoire ennemi. À première vue, cela semble trop facile, mais une fois que l'on commence à accumuler les mouvements, on s'aperçoit qu'il s'agit de une bataille perdue…
John Horton Conway est l'un de ces mathématiciens fabuleux vers qui l'on revient sans cesse. Malheureusement, il nous a quittés début avril à cause de complications liées au COVID-19, mais nous nous souviendrons toujours de lui grâce à ses énigmes et casse-tête extraordinaires. Il est probable que certains de nos lecteurs pensent au « Jeu de la vie de Conway » ou au fameux « Problème de l'ange ». Il existe aussi « Brotes », qu'il a conçu avec son collègue Michael S. Paterson, et l'« Algorithme de la fin du monde », qui nous aide à calculer mentalement le jour de la semaine de n'importe quelle date du calendrier.
Aujourd'hui, nous retrouvons son « Problème des soldats ». Imaginez un champ de bataille divisé en deux, et découpé en cases comme un plateau de dames ou d'échecs. D'un côté, vous avez un groupe de soldats qui ne peuvent avancer que comme les pions aux dames, c'est-à-dire en sautant par-dessus un autre et en le capturant, mais avec une restriction : la capture est autorisée verticalement ou horizontalement, pas en diagonale. L'objectif est d'avancer le plus loin possible en territoire ennemi. Il faut souligner que l'exercice ne limite ni la taille du plateau ni le nombre de soldats disponibles. 10, 20, 50, 750... peu importe.
Alors... les règles sont simples. Pourquoi est-ce un problème ? En résumé, parce qu'il est impossible d'atteindre la cinquième ligne en territoire ennemi. Pour atteindre la première ligne, il faut à peine deux soldats (un mouvement). Pour la deuxième, le nombre passe à quatre (trois mouvements). La troisième ligne nécessite huit soldats (sept mouvements), et la quatrième vingt (19 mouvements). Mais la cinquième ligne brise tout. Tous les soldats que vous pouvez avoir, tous les mouvements que vous pouvez faire... sont sans importance. La cinquième ligne est mathématiquement impossible à atteindre... à moins...
... que nous trichions. Si l'on tord un peu les règles pour permettre aux soldats de sauter en diagonale, l'accès s'étend jusqu'à la huitième ligne, mais pas à la neuvième. Avec un nombre fini de mouvements, le résultat n'est jamais satisfaisant, cependant, Simon Tatham (créateur de PuTTY) et Gareth Taylor ont démontré qu'atteindre la cinquième ligne est possible avec une infinité de mouvements. L'équipe de Numberphile a consacré beaucoup de temps au problème des soldats de Conway, et l'une de leurs vidéos dure plus de 40 minutes :
Et derrière tout ce chaos, derrière cette impossibilité, se cache rien de moins que le nombre d'or, que nous avons déjà exploré en son temps. D'un plateau de dames aux règles simplifiées, on passe à un défi impossible qui déchire les esprits et étonne même les mathématiciens les plus préparés. Mais ne partez pas ! Comme alternative à l'infini, nous avons aussi de très grands nombres, à commencer par le Nombre de Graham (qui ne tient pas dans l'Univers), et la fabuleuse Conjecture de Mertens.
