Het ontstaan van complexe patronen uit relatief eenvoudige regels is iets dat we in de wiskunde tot vervelens toe hebben gezien. Echte raadsels waar experts hun hoofd over breken, leiden tot allerlei studies en worden decennia lang geanalyseerd. Het zogenaamde "Conway-soldatenprobleem" is een uitstekend voorbeeld. Een veld in tweeën gedeeld, soldaten die bewegingen maken die lijken op die van het damspel, en één enkel doel: oprukken in vijandelijk gebied. Op het eerste gezicht lijkt het veel te makkelijk, maar zodra we bewegingen gaan opstapelen, merken we dat het een verloren strijd…
John Horton Conway is een van die fantastische wiskundigen waar we keer op keer naar terugkeren. Helaas overleed hij begin april als gevolg van complicaties in verband met COVID-19, maar we zullen hem altijd herinneren om zijn buitengewone raadsels en puzzels. Het is waarschijnlijk dat sommige van onze lezers denken aan "Angel-probleem", of aan het beroemde "Conway's Levensspel". Er is ook "Brotes", dat hij samen met zijn collega Michael S. Paterson ontwierp, en het "Einde-der-Wereld-algoritme", dat ons helpt om mentaal te berekenen welke dag van de week een datum was of zal zijn.
Vandaag komen we bij zijn "Soldatenprobleem". Stel je een slagveld voor dat in tweeën is gedeeld en in vakjes is opgedeeld als een dambord of schaakbord. Aan de ene kant heb je een groep soldaten die alleen vooruit kunnen als damschijven, dat wil zeggen, over een andere springen en die slaan, maar met een beperking: dat slaan is alleen verticaal of horizontaal toegestaan, niet diagonaal. Het doel is om zo ver mogelijk op te rukken in vijandelijk gebied. Het is belangrijk op te merken dat de oefening geen limiet stelt aan de grootte van het bord, noch aan het aantal beschikbare soldaten. 10, 20, 50, 750... het maakt niet uit.
Dus... de regels zijn eenvoudig. Waarom is het "een probleem"? In het kort: omdat het onmogelijk is om de vijfde rij te bereiken in vijandelijk gebied.. Voor de eerste rij heb je maar twee soldaten nodig (één zet). Voor de tweede rij stijgt het aantal naar vier (drie zetten). De derde rij vereist acht soldaten (zeven zetten), en de vierde twintig (19 zetten). Maar de vijfde rij breekt alles. Alle soldaten die je kunt hebben, alle zetten die je kunt doen... zijn irrelevant. De vijfde rij is wiskundig onmogelijk te bereiken... tenzij...
… tenzij we vals spelen. Als we de regels een beetje buigen om soldaten diagonaal te laten springen, reikt de toegang tot de achtste rij, maar niet tot de negende. Met een eindig aantal zetten is het resultaat nooit bevredigend, maar Simon Tatham (maker van PuTTY) en Gareth Taylor bewezen dat het bereiken van de vijfde rij mogelijk is met een oneindig aantal zetten. De mensen van Numberphile hebben veel tijd aan het Conway-soldatenprobleem besteed, en een van hun video's duurt meer dan 40 minuten:
En achter al deze chaos, deze onmogelijkheid, schuilt niets minder dan het gulden getal, dat we al eerder hebben onderzocht. Van een dambord met vereenvoudigde regels, tot een onmogelijke uitdaging die hersenen snijdt en zelfs de meest voorbereide wiskundigen verbaast. Maar ga niet weg! Als alternatief voor het oneindige hebben we ook zeer grote getallen, te beginnen met het Graham-getal (dat niet in het heelal past), en de fantastische Vermoeden van Mertens.
