La comparsa di schemi complessi a partire da regole relativamente semplici è qualcosa che abbiamo visto fino alla nausea in matematica. Veri enigmi che fanno girare la testa agli esperti, danno luogo a ogni tipo di studio e vengono analizzati per decenni. Il cosiddetto «Problema dei soldati di Conway» è un eccellente esempio. Un campo diviso in due, soldati che seguono movimenti simili a quelli della dama, e un solo obiettivo: avanzare in territorio nemico. A prima vista sembra fin troppo facile, ma una volta che iniziamo ad accumulare mosse, notiamo che si tratta di una battaglia persa…
John Conway e i suoi enigmi
John Horton Conway è uno di quei favolosi matematici a cui torniamo ancora e ancora. Purtroppo ci ha lasciato a inizio aprile a causa di complicazioni legate al COVID-19, ma lo ricorderemo sempre grazie ai suoi straordinari enigmi e rompicapo. È probabile che alcuni nostri lettori pensino al «Gioco della Vita di Conway», o al famoso «Problema dell'Angelo». Esiste anche il «gioco dei germogli», che ha progettato insieme al suo collega Michael S. Paterson, e l'«Algoritmo della Fine del Mondo», che ci aiuta a calcolare mentalmente in che giorno della settimana è o sarà qualsiasi data del calendario.
Il problema dei soldati
Oggi incontriamo il suo «Problema dei Soldati». Immaginate un campo di battaglia diviso in due, e frazionato in caselle come una scacchiera. Da un lato, avete un gruppo di soldati che possono avanzare solo come le pedine nella dama, cioè saltando sopra un'altra e catturandola, ma con una restrizione: questa cattura è consentita solo in verticale o in orizzontale, non in diagonale. L'obiettivo è avanzare nel campo nemico il più possibile. Ora, è necessario sottolineare che l'esercizio non limita la dimensione della scacchiera, né il numero di soldati disponibili. 10, 20, 50, 750... non importa.
L'impossibilità della quinta fila
Allora... le regole sono semplici. Perché è un problema? In sintesi, perché è impossibile raggiungere la quinta fila in territorio nemico. Per arrivare alla prima fila, bastano due soldati (un movimento). Per la seconda, il numero sale a quattro (tre movimenti). La terza fila richiede otto soldati (sette movimenti), e la quarta venti (19 movimenti). Ma la quinta fila spezza tutto. Tutti i soldati che potete avere, tutte le mosse che potete fare... sono irrilevanti. La quinta fila è matematicamente impossibile da raggiungere... a meno...
… che facciamo i furbi. Se pieghiamo un po' le regole per permettere ai soldati di saltare in diagonale, l'accesso si estende fino all'ottava fila, ma non alla nona. Con una quantità finita di mosse, il risultato non è mai soddisfacente, tuttavia Simon Tatham (creatore di PuTTY) e Gareth Taylor hanno dimostrato che raggiungere la quinta fila è possibile con una quantità infinita di mosse.
Il numero aureo e altri numeri
E dietro tutto questo caos, questa impossibilità, si nasconde nientemeno che il numero aureo, che abbiamo già esplorato in passato. Da una scacchiera con regole semplificate, a una sfida impossibile che spacca il cervello e stupisce anche i matematici più preparati. Ma non andate via! Come alternativa all'infinito, abbiamo anche numeri molto grandi, a cominciare dal Numero di Graham (che non entra nell'Universo), e la favolosa Congettura di Mertens.
