A aparição de padrões complexos a partir de regras relativamente simples é algo que vimos até a exaustão na matemática. Verdadeiros enigmas que deixam os especialistas de cabeça quente, dão origem a todos os tipos de estudos e são analisados durante décadas. O chamado «Problema dos Soldados de Conway» é um excelente exemplo. Um campo dividido em dois, soldados que seguem movimentos semelhantes aos do jogo de damas, e um único objetivo: avançar em território inimigo. À primeira vista parece fácil demais, mas, uma vez que começamos a acumular movimentos, notamos que se trata de uma batalha perdida…
John Horton Conway e seus enigmas
John Horton Conway é um desses fabulosos matemáticos aos quais voltamos uma e outra vez. Infelizmente, ele nos deixou no início de abril devido a complicações relacionadas à COVID-19, mas sempre o lembraremos graças aos seus extraordinários enigmas e quebra-cabeças. É provável que alguns de nossos leitores pensem no «Jogo da Vida de Conway», ou no famoso «Problema do Anjo». Também existe «Brotes», que ele projetou junto com seu colega Michael S. Paterson, e o «Algoritmo do Fim do Mundo», que nos ajuda a calcular mentalmente que dia da semana foi ou será qualquer data do calendário.
As regras do jogo
Hoje estamos diante do seu «Problema dos Soldados». Imagine um campo de batalha dividido em dois e fracionado em casas como um tabuleiro de damas ou xadrez. De um lado, você tem um grupo de soldados que só podem avançar como as peças nas damas, ou seja, saltando sobre outra e capturando-a, mas com uma restrição: essa captura é permitida apenas na vertical ou horizontal, não na diagonal. O objetivo é avançar no campo inimigo o máximo possível. Agora, é necessário destacar que o exercício não limita o tamanho do tabuleiro, nem o número de soldados disponíveis. 10, 20, 50, 750... não importa.
A impossibilidade da quinta fileira
Então... as regras são simples. Por que é um problema? Em resumo, porque é impossível chegar à quinta fileira dentro do território inimigo. Para chegar à primeira fileira, você precisa de apenas dois soldados (um movimento). Para a segunda fileira, o número sobe para quatro (três movimentos). A terceira fileira requer oito soldados (sete movimentos), e a quarta, vinte (19 movimentos). Mas a quinta fileira quebra tudo. Todos os soldados que você possa ter, todos os movimentos que você possa fazer... são irrelevantes. A quinta fileira é matematicamente impossível de alcançar... a menos...
... que façamos trapaça. Se dobrarmos um pouco as regras para permitir que os soldados saltem na diagonal, o acesso se estende até a oitava fileira, mas não à nona. Com uma quantidade finita de movimentos, o resultado nunca é satisfatório; no entanto, Simon Tatham (criador do PuTTY) e Gareth Taylor demonstraram que chegar à quinta fileira é possível com uma quantidade infinita de movimentos.
A conexão com o número áureo
E por trás de todo esse caos, dessa impossibilidade, esconde-se nada menos que o número áureo, ao qual já exploramos em seu momento. De um tabuleiro de damas com regras simplificadas, a um desafio impossível que corta cérebros e surpreende até os matemáticos mais preparados. Mas não vá embora! Como alternativa ao infinito, também temos números muito grandes, começando pelo Número de Graham (que não cabe no Universo) e a fabulosa Conjectura de Mertens.
