Pojawianie się złożonych wzorców z prostych reguł to coś, co w matematyce widzieliśmy już wiele razy. Prawdziwe zagadki, które zaprzątają głowy ekspertów, dają początek najróżniejszym badaniom i są analizowane przez dekady. Tak zwany „Problem żołnierzy Conwaya” jest doskonałym przykładem. Pole podzielone na dwie części, żołnierze poruszający się podobnie jak pionki w warcabach i tylko jeden cel: posuwanie się naprzód na terytorium wroga. Na pierwszy rzut oka wydaje się to zbyt łatwe, ale gdy zaczynamy gromadzić ruchy, zauważamy, że to przegrana bitwa…
John Horton Conway to jeden z tych wspaniałych matematyków, do których wracamy wielokrotnie. Niestety odszedł od nas na początku kwietnia z powodu powikłań związanych z COVID-19, ale zawsze będziemy go pamiętać dzięki jego niezwykłym zagadkom i łamigłówkom. Niektórzy nasi czytelnicy zapewne myślą o „Grze w życie Conwaya” albo o słynnym „Problemie Anioła”. Istnieje też „Brotes”, którą zaprojektował wraz ze swoim kolegą Michaelem S. Patersonem, oraz „Algorytm końca świata”, który pomaga obliczyć w pamięci, jaki dzień tygodnia był lub będzie dowolną datą w kalendarzu.
Zasady „Problemu żołnierzy”
Dziś spotykamy się z jego „Problemem żołnierzy”. Wyobraź sobie pole bitwy podzielone na dwie części i podzielone na pola jak szachownica czy warcaby. Po jednej stronie masz grupę żołnierzy, którzy mogą poruszać się tylko jak pionki w warcabach, to znaczy przeskakując nad innym i zbijając go, ale z jednym ograniczeniem: to zbicie jest dozwolone w pionie lub w poziomie, nie po przekątnej. Celem jest posunięcie się na terytorium wroga tak daleko, jak to możliwe. Należy podkreślić, że ćwiczenie nie ogranicza rozmiaru planszy ani liczby dostępnych żołnierzy. 10, 20, 50, 750... nie ma znaczenia.
Więc... zasady są proste. Dlaczego to „problem”? Krótko mówiąc, dlatego, że nie da się dotrzeć do piątego rzędu na terytorium wroga. Aby dotrzeć do pierwszego rzędu, potrzebujesz zaledwie dwóch żołnierzy (jeden ruch). Do drugiego rzędu liczba wzrasta do czterech (trzy ruchy). Trzeci rząd wymaga ośmiu żołnierzy (siedem ruchów), a czwarty dwudziestu (19 ruchów). Ale piąty rząd wszystko przełamuje. Wszyscy żołnierze, których możesz mieć, wszystkie ruchy, jakie możesz wykonać... są nieistotne. Piąty rząd jest matematycznie niemożliwy do osiągnięcia... chyba że...
... że oszukamy. Jeśli trochę ugniesz zasady, pozwalając żołnierzom skakać po przekątnej, dostęp rozszerza się do ósmego rzędu, ale nie do dziewiątego. Przy skończonej liczbie ruchów wynik nigdy nie jest zadowalający, jednak Simon Tatham (twórca PuTTY) i Gareth Taylor wykazali, że dotarcie do piątego rzędu jest możliwe z nieskończoną liczbą ruchów. Ludzie z Numberphile poświęcili temu problemowi wiele czasu i jeden z ich filmów trwa ponad 40 minut:
A za całym tym chaosem, za tą niemożliwością, kryje się nic innego jak złoty podział, który już eksplorowaliśmy. Od szachownicy z uproszczonymi zasadami do niemożliwego wyzwania, które łamie umysły i zadziwia nawet najlepiej przygotowanych matematyków. Ale nie odchodź! Jako alternatywę dla nieskończoności mamy też bardzo duże liczby, zaczynając od Liczby Grahama (która nie mieści się we Wszechświecie), oraz wspaniałą Hipotezę Mertensa.
