Was passiert, wenn das Offensichtliche nicht so offensichtlich ist? Wie gehen wir vor, wenn das, was wir für selbstverständlich halten, eigentlich eine tiefere Untersuchung erfordert? Die Mathematik ist voll von solchen Situationen, dieser Konflikte sozusagen. Die Suche nach einem mathematischen Beweis kann sich in eine anstrengende Mission verwandeln … oder direkt unmöglich werden. Dennoch nahm das Principia Mathematica von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell die Herausforderung zu Beginn des 20. Jahrhunderts an und enthält ein bemerkenswertes Beispiel: Die Schwierigkeit zu beweisen, dass 1+1=2 ist.
Wie lernen wir Mathematik? Wie werden wir zum ersten Mal mit dieser Welt konfrontiert? Persönlich kann ich sagen, dass es eine Kombination aus Zeichnungen, Objekten, sogar Liedern war. In der ersten Klasse wurde uns beigebracht, einen einfachen Abakus zu benutzen, der zum Tor zum Verständnis großer Zahlen wurde. Fortgeschrittenere Operationen führten zu komplexeren Phasen des Studiums … und zu unserem elementaren Hass auf Zahlen und Formeln. (!)
Während dieses langen Prozesses lernten wir auch, bestimmte Dinge in der Mathematik zu akzeptieren. Und ich sage „akzeptieren“, denn Beweise zu erlangen ist etwas völlig anderes. Mit diesem Gedanken im Hinterkopf kommen wir zum YouTube-Kanal Half as Interesting, der ein ausgezeichnetes Video über die Principia Mathematica geteilt hat, ein dreibändiges Werk über die Grundlagen der Mathematik, geschrieben von zwei Giganten, Alfred North Whitehead und Bertrand Russell (ja, derselbe mit dem Paradoxon). Dieses Werk wird jedoch aus einem ganz besonderen Grund zitiert: Sein Beweis, dass 1+1=2 ist.
1+1=2 und andere mathematische Beweise
Das Video erklärt uns, dass es zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine Art mathematische Krise gab: In jedem Zweig, wenn du etwas beweisen musst, verlässt du dich auf Beweise, die bereits existieren. Und diese Beweise hängen von anderen Beweisen ab, die wiederum von anderen abhängen … und ich denke, du kannst das Problem schon sehen. Früher oder später erreicht man den Punkt der Annahmen, Dinge, die sich, wie das Video sagt, „richtig anfühlen“ oder gesundem Menschenverstand zu entsprechen scheinen. Diese Annahmen sind in jedem Zweig der Mathematik unterschiedlich, und es gab kein Paket von „goldenen Regeln“, um ihre Wahrheit zu beweisen.
Das Ziel der Principia Mathematica war es, das zu korrigieren, oder besser gesagt, ein System der Mathematik zu schaffen, das auf reiner Logik basiert, wobei versucht wurde, die Anzahl der Axiome, primitiven Begriffe und Inferenzregeln zu minimieren. Leider erfüllte das Werk sein Ziel nicht, aber es hinterließ einige sehr interessante Leckerbissen, einschließlich des Beweises, dass 1+1 gleich 2 ist.
Auf den ersten Blick wirkt der Beweis wie in einer fremden Sprache geschrieben. Tatsächlich enthält er mehrere Verweise auf andere Abschnitte der Bände, daher muss ein Abenteurer mehr als 300 Seiten erkunden, um zu verstehen, was er vermitteln will: Dies erscheint auf Seite 378 der ersten Auflage, auf Seite 362 der zweiten Auflage und auf Seite 360 der „gekürzten Version“. Der vollständige Beweis erscheint auf Seite 86 des zweiten Bandes (1. Auflage) mit dem Kommentar, dass die Aussage „gelegentlich nützlich“ ist. Die Principia Mathematica mag ein Buch „von Mathematikern, für Mathematiker“ sein, aber wir freuen uns zu wissen, dass sie zumindest einen guten Sinn für Humor hatten …
