Cosa succede quando l'ovvio non è poi così ovvio? Come procediamo se ciò che diamo per scontato richiede in realtà un'esplorazione più profonda? La matematica è piena di queste situazioni, di questi conflitti, per così dire. La ricerca di una dimostrazione matematica può trasformarsi in una missione estenuante… o direttamente impossibile. Tuttavia, il Principia Mathematica di Alfred North Whitehead e Bertrand Russell accettò la sfida all'inizio del XX secolo e include un esempio notevole: La difficoltà di dimostrare che 1+1=2.
Come impariamo la matematica? Come entriamo per la prima volta in quel mondo? Personalmente posso dire che è stata una combinazione di disegni, oggetti e persino canzoni. In prima elementare ci hanno insegnato a usare un abaco base, che è diventato la porta d'ingresso per comprendere i numeri grandi. Operazioni più avanzate hanno dato luogo a fasi di studio più complesse… e al nostro odio elementare per i numeri e le formule. (!)
Durante tutto quel lungo processo, abbiamo anche imparato ad accettare certe cose in matematica. E dico «accettare», perché ottenere dimostrazioni è qualcosa di completamente diverso. Con questo in mente arriviamo al canale YouTube Half as Interesting, che ha condiviso un eccellente video incentrato sul Principia Mathematica, un'opera in tre volumi sui fondamenti della matematica scritta da due titani, Alfred North Whitehead e Bertrand Russell (sì, quello stesso del paradosso). Tuttavia, quell'opera viene solitamente citata per una ragione molto particolare: la sua dimostrazione che 1+1=2.
1+1=2 e altre dimostrazioni matematiche
Il video ci spiega che all'inizio del XX secolo c'era una sorta di crisi matematica: in ciascuno dei suoi rami, quando devi dimostrare qualcosa, dipendi da dimostrazioni che già esistono. E quelle dimostrazioni dipendono da altre dimostrazioni, che a loro volta dipendono da altre… e immagino che tu possa già vedere il problema. Prima o poi si raggiunge il punto delle supposizioni, cose che, come dice il video, «sembrano giuste» o appaiono di buon senso. Quelle supposizioni sono diverse per ogni ramo della matematica, e non c'era un pacchetto di «regole d'oro» per verificarne la veridicità.
L'obiettivo del Principia Mathematica era correggere questo, o meglio, dare forma a un sistema matematico basato sulla logica pura, cercando di minimizzare la quantità di assiomi, nozioni primitive e regole di inferenza. Purtroppo, l'opera non raggiunse il suo scopo, ma lasciò alcuni spunti molto interessanti lungo il percorso, inclusa la dimostrazione che 1+1 è uguale a 2.
A prima vista, la dimostrazione sembra scritta in una lingua extraterrestre. In effetti, include vari riferimenti ad altre sezioni dei volumi, quindi un avventuriero dovrà esplorare più di 300 pagine per capire cosa cerca di comunicare: appare a pagina 378 della prima edizione, a pagina 362 della seconda edizione e a pagina 360 della «versione ridotta». La dimostrazione completa appare a pagina 86 del secondo volume (1ª edizione), con il commento che la proposizione è «occasionalmente utile». Il Principia Mathematica potrà essere un libro «di matematici, per matematici», ma siamo lieti di sapere che almeno avevano un buon senso dell'umorismo...
