Co się dzieje, gdy to oczywiste nie jest takie oczywiste? Jak postępujemy, gdy to, co przyjmujemy za pewnik, wymaga w rzeczywistości głębszej analizy? Matematyka pełna jest takich sytuacji, takich konfliktów, że tak powiem. Poszukiwanie dowodu matematycznego może przekształcić się w wyczerpującą misję… lub wprost niemożliwą. Jednakże Principia Mathematica Alfreda North Whiteheada i Bertranda Russella podjęło to wyzwanie na początku XX wieku i zawiera niezwykły przykład: trudność udowodnienia, że 1+1=2.
Jak uczymy się matematyki? Jak po raz pierwszy stykamy się z tym światem? Osobiście mogę powiedzieć, że była to kombinacja rysunków, przedmiotów, a nawet piosenek. W pierwszej klasie nauczyliśmy się używać prostego liczydła, które stało się bramą do zrozumienia dużych liczb. Bardziej zaawansowane operacje prowadziły do bardziej złożonych faz nauki… i do naszej elementarnej nienawiści do liczb i wzorów. (!)
Przez cały ten długi proces nauczyliśmy się również akceptować pewne rzeczy w matematyce. I mówię „akceptować”, ponieważ zdobywanie dowodów to coś zupełnie innego. Mając to na uwadze, trafiamy na kanał YouTube Half as Interesting, który udostępnił doskonałe wideo skupiające się na Principia Mathematica, trzytomowym dziele o podstawach matematyki napisanym przez dwóch tytanów, Alfreda North Whiteheada i Bertranda Russella (tak, tego od paradoksu). Jednak to dzieło jest zwykle cytowane z bardzo szczególnego powodu: ich dowodu, że 1+1=2.
1+1=2 i inne dowody matematyczne
Wideo wyjaśnia, że na początku XX wieku miał miejsce swego rodzaju kryzys matematyczny: w każdej z jej gałęzi, gdy trzeba coś udowodnić, opierasz się na dowodach, które już istnieją. A te dowody zależą od innych dowodów, które z kolei zależą od innych… i myślę, że już widzisz problem. Prędzej czy później dochodzi się do punktu założeń, rzeczy, które – jak mówi wideo – „wydają się poprawne” lub wydają się zdroworozsądkowe. Te założenia są różne dla każdej gałęzi matematyki i nie było pakietu „złotych zasad” pozwalających zweryfikować ich prawdziwość.
Celem Principia Mathematica było naprawienie tego, a raczej stworzenie systemu matematyki opartego na czystej logice, starając się zminimalizować liczbę aksjomatów, pojęć pierwotnych i reguł wnioskowania. Niestety, dzieło nie spełniło swojego celu, ale pozostawiło po drodze kilka bardzo interesujących smakołyków, w tym dowód, że 1+1 równa się 2.
Na pierwszy rzut oka dowód wygląda, jakby był napisany w obcym języku. W rzeczywistości zawiera wiele odniesień do innych części tomów, więc poszukiwacz będzie musiał przejrzeć ponad 300 stron, aby zrozumieć, co chce przekazać: pojawia się to na stronie 378 pierwszego wydania, na stronie 362 drugiego wydania i na stronie 360 „wersji skróconej”. Pełny dowód pojawia się na stronie 86 drugiego tomu (1. wydanie), z komentarzem, że propozycja jest „czasami przydatna”. Principia Mathematica może być książką „matematyków, dla matematyków”, ale cieszy nas, że przynajmniej mieli dobre poczucie humoru…
