Wat gebeurt er als het voor de hand liggende niet zo voor de hand liggend? Hoe gaan we te werk als iets dat we als vanzelfsprekend beschouwen eigenlijk een diepere verkenning vereist? De wiskunde zit vol met dergelijke situaties, met die conflicten, om zo te zeggen. Het zoeken naar een wiskundig bewijs kan veranderen in een uitputtende missie... of simpelweg onmogelijk. Toch nam het Principia Mathematica van Alfred North Whitehead en Bertrand Russell de uitdaging aan in het begin van de twintigste eeuw, en bevat het een opmerkelijk voorbeeld: de moeilijkheid om te bewijzen dat 1+1=2.
Op welke manier leren we wiskunde? Hoe worden we voor het eerst blootgesteld aan die wereld? Persoonlijk kan ik zeggen dat het een combinatie was van tekeningen, objecten en zelfs liedjes. In de eerste klas leerden we een eenvoudig telraam te gebruiken, dat een toegangspoort werd tot het begrijpen van grote getallen. Geavanceerdere bewerkingen leidden tot complexere studiefasen... en tot onze elementaire haat tegen getallen en formules. (!)
Tijdens dat hele lange proces leerden we ook om bepaalde dingen te accepteren in de wiskunde. En ik zeg "accepteren", omdat het verkrijgen van bewijzen iets heel anders is. Met dat in gedachten komen we bij het YouTube-kanaal Half as Interesting, dat een uitstekende video deelde over Principia Mathematica, een driedelig werk over de grondslagen van de wiskunde, geschreven door twee titanen, Alfred North Whitehead en Bertrand Russell (ja, die van de paradox). Dat werk wordt echter vaak geciteerd om een heel specifieke reden: het bewijs dat 1+1=2.
1+1=2 en andere wiskundige bewijzen
De video legt uit dat er aan het begin van de twintigste eeuw een soort wiskundige crisis was: in elke tak, wanneer je iets moet bewijzen, ben je afhankelijk van bewijzen die al bestaan. En die bewijzen zijn afhankelijk van andere bewijzen, die op hun beurt weer van andere... en ik denk dat je het probleem al ziet. Vroeg of laat bereik je het punt van de aannames, dingen die, zoals de video zegt, "goed aanvoelen" of van gezond verstand lijken. Die aannames zijn verschillend voor elke tak van de wiskunde, en er was geen pakket "gouden regels" om hun waarheid te bewijzen.
Het doel van Principia Mathematica was om dat te corrigeren, of beter gezegd, om vorm te geven aan een systeem van wiskunde dat op pure logica is gebaseerd, door te proberen het aantal axioma's, primitieve begrippen en inferentieregels te minimaliseren. Helaas bereikte het werk zijn doel niet, maar het liet onderweg enkele zeer interessante lekkernijen achter, waaronder het bewijs dat 1+1 gelijk is aan 2.
Op het eerste gezicht lijkt het bewijs in een buitenaardse taal geschreven. Het bevat zelfs verschillende verwijzingen naar andere secties van de delen, dus een avonturier zal meer dan 300 pagina's moeten verkennen om te begrijpen wat het probeert te communiceren: dit staat op pagina 378 van de eerste editie, op pagina 362 van de tweede editie, en op pagina 360 van de "verkorte versie". Het volledige bewijs verschijnt op pagina 86 van het tweede deel (eerste editie) met de opmerking dat de propositie "af en toe nuttig" is. Principia Mathematica mag dan een boek "van wiskundigen, voor wiskundigen" zijn, maar we zijn blij te weten dat ze tenminste een goed gevoel voor humor hadden...
