Que se passe-t-il quand l'évidence n'est pas si évidente ? Comment procéder lorsque ce que nous tenons pour acquis nécessite en réalité une exploration plus approfondie ? Les mathématiques sont remplies de ces situations, de ces conflits en quelque sorte. La quête d'une preuve mathématique peut devenir une mission épuisante… ou carrément impossible. Pourtant, le Principia Mathematica d'Alfred North Whitehead et Bertrand Russell a relevé le défi au début du XXe siècle, et inclut un exemple remarquable : la difficulté de prouver que 1+1=2.
Comment apprenons-nous les mathématiques ? Comment sommes-nous exposés pour la première fois à ce monde ? Personnellement, ce fut une combinaison de dessins, objets, même des chansons. En première année, on nous a appris à utiliser un boulier de base, qui est devenu la porte d'entrée pour comprendre les grands nombres. Des opérations plus avancées ont donné lieu à des phases d'étude plus complexes… et à notre haine élémentaire des nombres et des formules !.
Tout au long de ce long processus, nous avons aussi appris à accepter certaines choses en mathématiques. Et je dis « accepter », car obtenir des preuves est tout à fait différent. C'est dans cette optique que nous arrivons à la chaîne YouTube Half as Interesting, qui a partagé une excellente vidéo consacrée à Principia Mathematica, un ouvrage en trois volumes sur les fondements des mathématiques écrit par deux titans, Alfred North Whitehead et Bertrand Russell (oui, celui-là même du paradoxe). Cependant, cet ouvrage est souvent cité pour une raison très particulière : sa preuve que 1+1=2.
1+1=2 et autres preuves mathématiques
La vidéo nous explique qu'au début du XXe siècle, il y avait une sorte de crise mathématique : dans chacune de ses branches, lorsque vous devez prouver quelque chose, vous dépendez de preuves qui existent déjà. Et ces preuves dépendent d'autres preuves, qui à leur tour dépendent d'autres… et je suppose que vous voyez déjà le problème. Tôt ou tard, on atteint le point de les suppositions, des choses qui, comme le dit la vidéo, « semblent correctes » ou paraissent relever du bon sens. Ces suppositions sont différentes pour chaque branche des mathématiques, et il n'y avait pas de paquet de « règles en or » pour prouver leur véracité.
L'objectif de Principia Mathematica était de corriger cela, ou plutôt de donner forme à un système de mathématiques basé sur la logique pure, en essayant de minimiser le nombre d'axiomes, de notions primitives et de règles d'inférence. Malheureusement, l'ouvrage n'a pas atteint son objectif, mais il a laissé de très intéressantes bouchées en chemin, dont la preuve que 1+1 est égal à 2.
À première vue, la preuve semble écrite dans une langue extraterrestre. En fait, elle inclut plusieurs références à d'autres sections des volumes, si bien qu'un aventurier devra explorer plus de 300 pages pour comprendre ce qu'elle essaie de communiquer : cela apparaît à la page 378 de la première édition, à la page 362 de la seconde édition, et à la page 360 de la « version réduite ». La preuve complète apparaît à la page 86 du deuxième volume (1re édition), avec le commentaire que la proposition est « occasionnellement utile ». Principia Mathematica est peut-être un livre « de mathématiciens, pour mathématiciens », mais nous sommes heureux de savoir qu'ils avaient au moins un bon sens de l'humour…
