O que acontece quando o óbvio não é tão óbvio? Como proceder quando aquilo que tomamos como certo exige, na verdade, uma exploração mais profunda? A matemática está repleta dessas situações, desses conflitos por assim dizer. A busca por uma prova matemática pode se transformar numa missão exaustiva… ou diretamente impossível. No entanto, o Principia Mathematica de Alfred North Whitehead e Bertrand Russell aceitou o desafio no início do século XX e inclui um exemplo notável: A dificuldade de provar que 1+1=2.
Como aprendemos matemática? Como somos expostos pela primeira vez a esse mundo? No meu caso, posso dizer que foi uma combinação de desenhos, objetos, até mesmo canções. No primeiro ano, nos ensinaram a usar um ábaco básico, que se tornou a porta de entrada para entender números grandes. Operações mais avançadas deram lugar a fases mais complexas de estudo… e ao nosso ódio elementar pelos números e pelas fórmulas. (!)
Durante todo esse longo processo, também aprendemos a aceitar certas coisas em matemática. E digo “aceitar”, porque obter provas é algo completamente diferente. Com isso em mente, chegamos ao canal de YouTube Half as Interesting, que compartilhou um excelente vídeo focado no Principia Mathematica, um trabalho de três volumes sobre os fundamentos da matemática, escrito por dois titãs, Alfred North Whitehead e Bertrand Russell (sim, o mesmo do paradoxo). No entanto, esse trabalho costuma ser citado por uma razão muito particular: Sua prova de que 1+1=2.
1+1=2, e outras provas matemáticas
O vídeo nos explica que, no início do século XX, havia uma espécie de crise matemática: Em cada um de seus ramos, quando você precisa provar algo, depende de provas que já existem. E essas provas dependem de outras provas, que por sua vez dependem de outras… e imagino que você já consegue ver o problema. Mais cedo ou mais tarde, chega-se ao ponto de as suposições, coisas que, como diz o vídeo, «parecem corretas» ou parecem senso comum. Essas suposições são diferentes para cada ramo da matemática, e não havia um pacote de «regras de ouro» para provar sua veracidade.
O objetivo de Principia Mathematica era corrigir isso, ou melhor, dar forma a um sistema de matemática baseado em lógica pura, tentando minimizar a quantidade de axiomas, noções primitivas e regras de inferência. Infelizmente, o trabalho não cumpriu seu objetivo, mas deixou algumas guloseimas interessantes pelo caminho, incluindo a prova de que 1+1 é igual a 2.
À primeira vista, a prova parece escrita em um idioma extraterrestre. Na verdade, ela inclui várias referências a outras seções dos volumes; portanto, um aventureiro precisará explorar mais de 300 páginas para entender o que ela tenta comunicar: Isso aparece na página 378 da primeira edição, na 362 da segunda edição e na 360 da «versão reduzida». A prova completa aparece na página 86 do segundo volume (1ª edição), com o comentário de que a proposição é «ocasionalmente útil». Principia Mathematica pode ser um livro «de matemáticos, para matemáticos», mas ficamos felizes em saber que, pelo menos, eles tinham um bom senso de humor…
