Mertens-Vermutung: Ein fabelhafter mathematischer Widerspruch

Einige mathematische Probleme lassen sich in angemessener Zeit lösen. Andere … erfordern ganze Jahrzehnte, und trotz des Endergebnisses kann man nie das Gefühl abschütteln, dass an dem ganzen Prozess etwas nicht stimmt. Eines der deutlichsten Beispiele ist die sogenannte Mertens-Vermutung, die auf das Jahr 1885 zurückgeht. Experten brauchten hundert Jahre, um zu beweisen, dass die Vermutung falsch ist, aber alle verfügbaren Beweise, die wir haben (und die wir in Zukunft haben werden), deuten auf das Gegenteil hin …

Also … wie funktioniert das genau? Im Allgemeinen gilt: „Es scheint wahr zu sein, aber es ist falsch“. Jeder ernsthafte Mathematiker würde uns jedoch einen Schuh an den Kopf werfen, wenn wir dabei stehen bleiben. Die Geschichte beginnt mit einer Frage: Wenn man eine zufällige Zahl nimmt, ist es wahrscheinlicher, dass sie eine gerade Anzahl von Primfaktoren hat oder eine ungerade?

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 10: Zerlegt man sie in Primfaktoren, ergibt sich 2 x 5, die Anzahl der Faktoren ist also gerade. Andererseits hat jede Primzahl automatisch eine ungerade Anzahl von Primfaktoren. Aber es gibt eine zusätzliche Bedingung, die wir nicht ignorieren können, nämlich wenn sich Primfaktoren wiederholen (z. B. 12 = 2 x 2 x 3). So gelangen wir zur ersten Hälfte der Mertens-Vermutung, mit der Funktion μ(n). Wie Dr. Holly Krieger im Video erklärt, gibt es drei Möglichkeiten für μ(n):

1. Wenn n eine gerade Anzahl nicht wiederholter Primfaktoren hat, ist der Wert 1.
2. Wenn n eine ungerade Anzahl nicht wiederholter Primfaktoren hat, ist der Wert -1.
3. Wenn n wiederholte Faktoren hat, ist der Wert 0.

Der Rest ist eine Frage der Projektion: Der Wert von n für 1 ist 1, für 2 ist -1, 3 ist -1, 4 ist 0 (weil 2 x 2 sich wiederholt), 5 ist -1, 6 ist 1 und so weiter ... aber wir müssen noch die ursprüngliche Frage beantworten: Gerade Faktoren oder ungerade Faktoren? Um die Antwort zu finden, ist die Idee, alle Werte von n zu summieren und zu sehen, auf welcher Seite die Summe M(n) liegt, ob sie positiv (gerade) oder negativ (ungerade) ist.

Und hier tritt die zweite Hälfte der Vermutung in Erscheinung: Im Jahr 1885 schickte der Mathematiker Thomas Joannes Stieltjes einen Brief an seine Kollegen Charles Hermite und Franz Mertens, in dem er erklärte, dass M(n) (heute als Mertens-Funktion bekannt) niemals größer als die Quadratwurzel von n sein kann, weder negativ noch positiv. Wenn wir unsere gesamte Rechenleistung in eine Grafik stecken, sehen wir, dass M(n) fast chaotisch oszilliert, aber sie scheint korrekt auf Stieltjes' Ankündigung zu reagieren:

Das Problem ist ... dass die Vermutung falsch ist. An einem sehr, sehr, sehr hohen Ende der Grafik überschreitet M(n) die Schranke der Quadratwurzel, egal was alle unsere Berechnungen vermuten lassen. Die Mathematiker Andrew Odlyzko und Herman te Riele bewiesen 1985 mit Hilfe des Lenstra-Lenstra-Lovász-Basisreduktionsalgorithmus (oder „LLL“), dass die Vermutung bei der Größenordnung 10^(10^23) scheitert ... eine so große Zahl, dass die Atome im Universum nicht ausreichen, um sie darzustellen. Gleichzeitig würde die Richtigkeit der Mertens-Vermutung bedeuten, dass auch die berühmte Riemannsche Vermutung wahr ist, eine sehr interessante Geschichte, die wir ... ein anderes Mal erkunden können.

Quelle: Numberphile auf YouTube