Conjectura de Mertens: Uma fabulosa contradição matemática

Alguns problemas matemáticos podem ser resolvidos em um tempo razoável. Outros... exigem décadas inteiras, e mesmo com o resultado final, nunca se elimina a sensação de que há algo errado em todo o processo. Um dos exemplos mais contundentes é a chamada Conjectura de Mertens, que remonta ao ano de 1885. Os especialistas precisaram de cem anos para provar que a conjectura é falsa, mas toda a evidência disponível que temos (e que teremos no futuro) sugere o contrário...

Então... como isso funciona exatamente? Em termos gerais, “parece verdadeira, mas é falsa”, no entanto, qualquer matemático sério jogaria um sapato na nossa cabeça se parássemos por aí. A história começa com uma dúvida: se você pegar um número aleatório, é mais provável que ele tenha um número par de fatores primos, ou um número ímpar?

A função μ(n)

Por exemplo, tomemos o caso de 10: se o separarmos em fatores primos, a solução é 2 x 5, ou seja, o número de fatores é par. Já se focarmos em qualquer número primo, o número de fatores primos é automaticamente ímpar. Mas existe uma condição adicional que não podemos ignorar: quando os fatores primos se repetem (ex.: 12 = 2 x 2 x 3). Assim chegamos à primeira metade da Conjectura de Mertens, com a função μ(n). Como explica a doutora Holly Krieger no vídeo, as possibilidades para μ(n) são três:

1. Se "n" tem um número par de fatores primos que não se repetem, o valor é 1.
2. Se "n" tem um número ímpar de fatores primos que não se repetem, o valor é -1.
3. Se "n" tem fatores repetidos, o valor é 0.

O resto é questão de projetar: o valor de "n" para 1 é 1, para 2 é -1, 3 é -1 de novo, 4 é 0 (porque 2 x 2 repete fatores), 5 é -1, 6 é 1, e assim por diante... mas ainda precisamos responder à pergunta original: fatores pares, ou fatores ímpares? Para buscar a resposta, a ideia é somar todos os valores de "n" e ver de que lado fica o total M(n), se é positivo (par) ou se é negativo (ímpar).

A conjectura de Mertens

E é aqui que a segunda metade da Conjectura entra em ação: em 1885, o matemático Thomas Joannes Stieltjes enviou uma carta aos seus colegas Charles Hermite e Franz Mertens declarando que M(n) (hoje conhecida como função de Mertens) nunca pode ser maior do que a raiz quadrada de "n", seja negativa ou positiva. Se lançarmos todo o poder de fogo computacional que temos em um gráfico, veremos que M(n) oscila quase de forma caótica, mas parece responder corretamente ao anúncio de Stieltjes:

O problema é... que a conjectura é falsa. Em um extremo muito, muito, muito superior do gráfico, M(n) cruza a barreira da raiz quadrada, mesmo que todos os nossos cálculos sugiram o contrário. Os matemáticos Andrew Odlyzko e Herman te Riele provaram em 1985 com a ajuda do algoritmo de simplificação de bases de retículos de Lenstra–Lenstra–Lovász (ou “LLL”) que a conjectura se quebra ao nível de 10^(10^23)... um número tão grande que não temos átomos suficientes no Universo para representá-lo. Ao mesmo tempo, se a conjectura de Mertens fosse verdadeira, isso implicaria que a famosa hipótese de Riemann também é verdadeira, uma história muito interessante para explorar... em outro momento.

Fonte: Numberphile no YouTube