Conjecture de Mertens : une fabuleuse contradiction mathématique

Certains problèmes mathématiques peuvent être résolus en un temps raisonnable. D'autres... demandent des décennies entières, et, malgré le résultat final, on n'arrive jamais à se débarrasser de la sensation que quelque chose ne va pas dans tout le processus. L'un des exemples les plus frappants est la conjecture de Mertens, qui remonte à 1885. Les experts ont mis cent ans pour prouver que la conjecture est fausse, mais toutes les preuves disponibles que nous avons (et que nous aurons à l'avenir) suggèrent le contraire...

Alors... comment cela fonctionne-t-il exactement ? En termes généraux, « paraît vrai mais est faux », mais tout mathématicien sérieux nous jetterait une chaussure à la tête si nous nous arrêtions là. L'histoire commence avec une question : si vous prenez un nombre aléatoire, est-il plus probable qu'il possède un nombre pair de facteurs premiers, ou un nombre impair ?

Par exemple, prenons le cas de 10 : si on le décompose en facteurs premiers, la solution est 2 x 5, donc le nombre de facteurs est pair. En revanche, si on prend un nombre premier quelconque, le nombre de facteurs premiers est automatiquement impair. Mais il existe une condition supplémentaire que nous ne pouvons ignorer : c'est lorsque les facteurs premiers se répètent (par exemple 12 = 2 x 2 x 3). Nous arrivons ainsi à la première moitié de la conjecture de Mertens, avec la fonction μ(n). Comme l'explique la docteure Holly Krieger dans la vidéo, les possibilités pour μ(n) sont au nombre de trois :

1. Si « n » possède un nombre pair de facteurs premiers distincts, la valeur est 1.
2. Si « n » possède un nombre impair de facteurs premiers distincts, la valeur est -1.
3. Si « n » possède des facteurs répétés, la valeur est 0.

Le reste est une question de projection : la valeur de « n » pour 1 est 1, pour 2 est -1, 3 est -1 encore, 4 est 0 (parce que 2 x 2 répète des facteurs), 5 est -1, 6 est 1, et ainsi de suite... Mais nous devons encore répondre à la question originale : facteurs pairs ou facteurs impairs ? Pour chercher la réponse, l'idée est de sommer toutes les valeurs de « n » et de voir de quel côté tombe le total M(n), s'il est positif (pair) ou négatif (impair).

Et c'est ici que la seconde moitié de la conjecture fait son apparition : en 1885, le mathématicien Thomas Joannes Stieltjes envoya une lettre à ses collègues Charles Hermite et Franz Mertens déclarant que M(n) (aujourd'hui connue comme fonction de Mertens) ne peut jamais être plus grande que la racine carrée de « n », qu'elle soit négative ou positive. Si nous projetons toute la puissance de calcul informatique dont nous disposons sur un graphique, nous verrons que M(n) oscille de manière presque chaotique, mais semble répondre correctement à l'annonce de Stieltjes :

Le problème est... que la conjecture est fausse. À une extrémité très, très, très supérieure du graphique, M(n) franchit la barrière de la racine carrée, même si tous nos calculs suggèrent le contraire. Les mathématiciens Andrew Odlyzko et Herman te Riele ont prouvé en 1985 à l'aide de l'algorithme de simplification de bases de réseaux de Lenstra–Lenstra–Lovász (ou « LLL ») que la conjecture se brise au niveau de 10^(10^23)... un nombre si grand que les atomes de l'Univers ne suffisent pas à le représenter. Parallèlement, si la conjecture de Mertens était vraie, cela impliquerait que la célèbre hypothèse de Riemann est également vraie, une histoire très intéressante à explorer... une autre fois.

Source : Numberphile sur YouTube