Hipoteza Mertensa: fascynująca matematyczna sprzeczność

Niektóre problemy matematyczne można rozwiązać w rozsądnym czasie. Inne… wymagają całych dekad, a mimo końcowego wyniku nigdy nie udaje się pozbyć wrażenia, że w całym procesie jest coś nie tak. Jednym z najbardziej dobitnych przykładów jest tzw. hipoteza Mertensa, która sięga roku 1885. Eksperci potrzebowali stu lat, aby udowodnić, że hipoteza jest fałszywa, ale wszystkie dostępne dowody, które mamy (i które będziemy mieć w przyszłości) sugerują coś przeciwnego…

Jak to dokładnie działa? Ogólnie rzecz biorąc, «wydaje się prawdziwe, ale jest fałszywe», jednak każdy poważny matematyk rzuciłby nam butem w głowę, gdybyśmy na tym poprzestali. Historia zaczyna się od pytania: jeśli weźmiesz losową liczbę, czy bardziej prawdopodobne jest, że ma parzystą liczbę czynników pierwszych, czy nieparzystą?

Na przykład rozważmy liczbę 10. Jeśli rozłożymy ją na czynniki pierwsze, otrzymamy 2 x 5, zatem liczba czynników jest parzysta. Z drugiej strony, jeśli weźmiemy dowolną liczbę pierwszą, liczba jej czynników pierwszych jest automatycznie nieparzysta. Istnieje jednak dodatkowy warunek, którego nie możemy zignorować: gdy czynniki pierwsze się powtarzają (np. 12 = 2 x 2 x 3). W ten sposób dochodzimy do pierwszej połowy hipotezy Mertensa, czyli funkcji μ(n).

Jak wyjaśnia dr Holly Krieger w wideo, możliwości dla μ(n) są trzy:

1. Jeśli „n” ma parzystą liczbę niepowtarzających się czynników pierwszych, wartość wynosi 1.
2. Jeśli „n” ma nieparzystą liczbę niepowtarzających się czynników pierwszych, wartość wynosi -1.
3. Jeśli „n” ma powtarzające się czynniki, wartość wynosi 0.

Reszta to kwestia projekcji: wartość „n” dla 1 wynosi 1, dla 2 wynosi -1, dla 3 znów -1, dla 4 wynosi 0 (ponieważ 2 x 2 powtarza czynniki), dla 5 wynosi -1, dla 6 wynosi 1, i tak dalej… Ale nadal musimy odpowiedzieć na pierwotne pytanie: czy czynniki parzyste, czy nieparzyste? Aby znaleźć odpowiedź, należy zsumować wszystkie wartości „n” i zobaczyć, po której stronie znajdzie się suma M(n) – dodatnia (parzysta) czy ujemna (nieparzysta).

I tutaj pojawia się druga połowa hipotezy. W 1885 roku matematyk Thomas Joannes Stieltjes wysłał list do swoich kolegów Charlesa Hermite’a i Franza Mertensa, w którym stwierdził, że M(n) (dziś znana jako funkcja Mertensa) nigdy nie może być większa niż pierwiastek kwadratowy z „n”, niezależnie od tego, czy jest ujemna, czy dodatnia. Jeśli przeniesiemy całą naszą moc obliczeniową na wykres, zobaczymy, że M(n) oscyluje niemal chaotycznie, ale wydaje się poprawnie odpowiadać zapowiedzi Stieltjesa:

Problem polega na tym, że hipoteza jest fałszywa. Na bardzo, bardzo, bardzo górnym końcu wykresu M(n) przekracza barierę pierwiastka kwadratowego, mimo że wszystkie nasze obliczenia sugerują coś przeciwnego. Matematycy Andrew Odlyzko i Herman te Riele udowodnili w 1985 roku przy pomocy algorytmu upraszczania baz krat Lenstra–Lenstra–Lovásza (lub „LLL”), że hipoteza załamuje się na poziomie 10^(10^23)... tak ogromnej liczby, że atomów we Wszechświecie nie wystarczy, aby ją przedstawić. Jednocześnie, gdyby hipoteza Mertensa była prawdziwa, oznaczałoby to, że słynna hipoteza Riemanna również jest prawdziwa – to bardzo ciekawa historia do zbadania… innym razem.

Źródło: Numberphile na YouTube