Congettura di Mertens: una favolosa contraddizione matematica

Alcuni problemi matematici possono essere risolti in un tempo ragionevole. Altri… richiedono interi decenni, e nonostante il risultato finale, non si riesce mai a dissipare la sensazione che ci sia qualcosa di sbagliato in tutto il processo. Uno degli esempi più eclatanti è la cosiddetta Congettura di Mertens, che risale alla fine dell'Ottocento. Gli esperti hanno impiegato cento anni per dimostrare che la congettura è falsa, ma tutte le prove disponibili che abbiamo (e che avremo in futuro) suggeriscono il contrario…

Come funziona esattamente?

Allora… come funziona esattamente? In generale, «sembra vero ma è falso», ma qualsiasi matematico serio ci lancerebbe una scarpa in testa se ci fermassimo qui. La storia inizia con un dubbio: se prendi un numero casuale, è più probabile che abbia un numero pari di fattori primi o un numero dispari?

Per esempio, prendiamo il caso di 10: scomponendolo in fattori primi, la soluzione è 2 x 5, quindi il numero di fattori è pari. Invece, se consideriamo un qualsiasi numero primo, il numero di fattori primi è automaticamente dispari. Ma esiste una condizione aggiuntiva che non possiamo ignorare: quando i fattori primi si ripetono (es. 12 = 2 x 2 x 3). Così arriviamo alla prima metà della Congettura di Mertens, con la funzione μ(n). Come spiega la dottoressa Holly Krieger nel video, le possibilità per μ(n) sono tre:

1. Se «n» ha un numero pari di fattori primi che non si ripetono, il valore è 1.
2. Se «n» ha un numero dispari di fattori primi che non si ripetono, il valore è -1.
3. Se «n» ha fattori ripetuti, il valore è 0.

Il resto è questione di proiezione: il valore di «n» per 1 è 1, per 2 è -1, per 3 è -1 di nuovo, per 4 è 0 (perché 2 x 2 ripete fattori), per 5 è -1, per 6 è 1, e così via… ma dobbiamo ancora rispondere alla domanda originale: fattori pari o fattori dispari? Per cercare la risposta, l'idea è sommare tutti i valori di «n» e vedere da quale parte sta il totale M(n): se positivo (pari) o negativo (dispari).

La seconda metà della congettura

Ed è qui che entra in gioco la seconda metà della congettura: alla fine dell'Ottocento, il matematico Thomas Joannes Stieltjes inviò una lettera ai colleghi Charles Hermite e Franz Mertens dichiarando che M(n) (oggi nota come funzione di Mertens) non può mai essere più grande della radice quadrata di «n», sia negativa che positiva. Se riversiamo tutta la potenza di calcolo che abbiamo in un grafico, vediamo che M(n) oscilla quasi in modo caotico, ma sembra rispondere correttamente all'annuncio di Stieltjes:

Il problema è… che la congettura è falsa. In un punto molto, molto, molto superiore del grafico, M(n) supera la barriera della radice quadrata, nonostante tutti i nostri calcoli suggeriscano il contrario. I matematici Andrew Odlyzko e Herman te Riele hanno dimostrato nel 1985 con l'aiuto dell'algoritmo di semplificazione delle basi dei reticoli di Lenstra–Lenstra–Lovász (o «LLL») che la congettura si rompe al livello di 10^(10^23)... un numero così grande che gli atomi dell'Universo non bastano a rappresentarlo. Allo stesso tempo, se la congettura di Mertens fosse vera, implicherebbe che la famosissima ipotesi di Riemann è anch'essa vera, una storia molto interessante da esplorare… un'altra volta.

Fonte: Numberphile su YouTube