De conjectuur van Mertens: een fabelachtige wiskundige tegenstrijdigheid

Een raadselachtige wiskundige uitdaging

Sommige wiskundige problemen kunnen in een redelijke tijd worden opgelost. Andere vergen hele decennia, en ondanks het eindresultaat krijg je nooit het gevoel dat er iets mis is met het hele proces. Een van de meest sprekende voorbeelden is de zogenaamde Conjectuur van Mertens, die dateert uit de late negentiende eeuw. Experts hadden honderd jaar nodig om te bewijzen dat de conjectuur onwaar is, maar al het beschikbare bewijs dat we hebben (en zullen hebben) suggereert het tegendeel...

Hoe werkt dat precies? In algemene termen: "het lijkt waar, maar het is onwaar", maar elke serieuze wiskundige gooit ons een schoen naar het hoofd als we het daarbij laten. Het verhaal begint met een vraag: als je een willekeurig getal neemt, is het dan waarschijnlijker dat het een even aantal priemfactoren heeft, of een oneven aantal?

Neem bijvoorbeeld het getal 10: als we het ontbinden in priemfactoren, is de oplossing 2 × 5, dus het aantal factoren is even. Als we ons daarentegen richten op een priemgetal, is het aantal priemfactoren automatisch oneven. Maar er is een extra voorwaarde die we niet kunnen negeren, namelijk wanneer priemfactoren herhaald worden (bijv. 12 = 2 × 2 × 3). Zo komen we bij de eerste helft van de Conjectuur van Mertens met de functie μ(n). Zoals doctor Holly Krieger in de video uitlegt, zijn er drie mogelijkheden voor μ(n):

1. Als n een even aantal niet-herhaalde priemfactoren heeft, is de waarde 1.
2. Als n een oneven aantal niet-herhaalde priemfactoren heeft, is de waarde -1.
3. Als n herhaalde factoren heeft, is de waarde 0.

De rest is een kwestie van projecteren: de waarde van n is 1 voor 1, -1 voor 2, -1 voor 3, 0 voor 4 (omdat 2 × 2 factoren herhaalt), -1 voor 5, 1 voor 6, enzovoort... maar we moeten nog de oorspronkelijke vraag beantwoorden: even factoren of oneven factoren? Om het antwoord te vinden is het idee om alle waarden van n op te tellen en te zien aan welke kant het totaal M(n) uitkomt: positief (even) of negatief (oneven).

En hier doet de tweede helft van de conjectuur zijn intrede: in de late negentiende eeuw stuurde de wiskundige Thomas Joannes Stieltjes een brief aan zijn collega's Charles Hermite en Franz Mertens waarin hij verklaarde dat M(n) (tegenwoordig bekend als de functie van Mertens) nooit groter kan zijn dan de vierkantswortel van n, zowel negatief als positief. Als we al onze rekenkracht op een grafiek loslaten, zien we dat M(n) bijna chaotisch oscilleert, maar het lijkt correct te reageren op de aankondiging van Stieltjes:

Het probleem is dat de conjectuur onwaar is. Helemaal bovenaan de grafiek kruist M(n) de grens van de vierkantswortel, ook al suggereren al onze berekeningen het tegendeel. De wiskundigen Andrew Odlyzko en Herman te Riele bewezen in 1985 met behulp van het algoritme voor het vereenvoudigen van roosterbases van Lenstra–Lenstra–Lovász (of 'LLL') dat de conjectuur breekt op het niveau van 10^(10^23)... een getal zo groot dat we niet genoeg atomen in het heelal hebben om het weer te geven. Tegelijkertijd zou, als de conjectuur van Mertens waar was, dat impliceren dat de beroemde Riemann-hypothese ook waar is, een zeer interessant verhaal om... een andere keer te verkennen.

Bron: Numberphile op YouTube