Galton-Maschine: Ordnung, verborgen im Chaos (Video)

Wenn wir die Galton-Maschine in Aktion sehen, denken wir zuerst, dass der Erfinder, Statistiker und Anthropologe Glück hatte, nicht im Mittelalter zu leben. Die Tatsache, dass alle Kugeln jedes Mal einer Kurve folgen ... aber in Wirklichkeit ist es reiner zentraler Grenzwertsatz. Doch das ist noch nicht alles: Die Maschine wird noch interessanter, wenn man eine Kopie des Pascalschen Dreiecks darüber legt, denn aus dieser Kombination ergeben sich einige sehr nützliche Ressourcen.

Wir drehen, und es bildet sich eine Kurve. Noch ein Dreh, und wieder eine Kurve. Egal wie oft wir es versuchen, das Ergebnis ist (mehr oder weniger) dasselbe: Tausende von Kugeln bilden eine Kurve am Boden. Die von Sir Francis Galton entworfene Galton-Maschine dient als Demonstration der Normalverteilung und des zentralen Grenzwertsatzes.

In sehr, sehr lockeren Worten besagt dieser Satz, dass wenn eine sehr große Anzahl von Stichproben aus einer Population genommen wird, sich die Verteilung des Durchschnitts der Stichproben einer Normalverteilung annähert. Es ist zweifellos eines der tiefgründigsten und wesentlichsten Konzepte in der Welt der Statistik... und es schmilzt leicht Gehirne. Aber kehren wir zur Maschine zurück.

Das Galton-Brett

Die Pfosten der Galton-Maschine sind wie eine Pyramide angeordnet. Wenn eine Kugel auf einen Pfosten trifft, hat sie eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, nach links oder rechts zu gehen. Beim Übergang zur zweiten Pfostenreihe wiederholt sich dieser Vorgang, wobei die 50 Prozent erhalten bleiben.

Bei einer großen Anzahl von Versuchen ist das erwartete Ergebnis, dass diejenigen Kugeln, die eine sehr ähnliche Anzahl von Bewegungen nach links und rechts haben, am häufigsten vorkommen. Mit anderen Worten: Die Anzahl der Kugeln in der Mitte wird größer sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in einen der Schlitze am unteren Ende fällt, folgt dem Konzept der Binomialverteilung, aber mit dem Eingreifen des zuvor erwähnten Satzes nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung an.

Die Galton-Maschine gewinnt eine zusätzliche Komplexitätsebene, wenn man eine Darstellung des Pascalschen Dreiecks über die Pfosten legt. Im Wesentlichen sagt uns die Zahl jeder Zelle im Dreieck, wie viele Wege eine Kugel nehmen kann, um diesen Pfosten zu erreichen.

Die Zahlen des Dreiecks sind in der Mitte größer, das heißt, eine größere Anzahl von verfügbaren Wegen für die Kugeln. Schauen Sie sich diese Kopie des Dreiecks an, und die Zelle unten in der Mitte. Eine Kugel hat dort 12.870 Möglichkeiten, um aufzutreffen.