Máquina de Galton: Ordem escondida no caos (vídeo)

Quando vemos a máquina de Galton em ação, a primeira coisa que pensamos é que o inventor, estatístico e antropólogo teve sorte de não viver na Idade Média. O simples fato de todas as bolinhas caírem seguindo uma curva sempre que o aparelho é girado quase parece um ato de feitiçaria, mas na realidade é puro teorema do limite central. No entanto, isso não é tudo: a máquina fica ainda mais interessante quando colocamos sobre ela uma cópia do triângulo de Pascal, pois dessa combinação surgem alguns recursos muito úteis.

Giramos, e se forma uma curva. Outro giro, e uma curva de novo. Não importa quantas vezes tentemos, o resultado é (mais ou menos) o mesmo: milhares de bolinhas criando uma curva no fundo. A máquina de Galton, projetada por Sir Francis Galton, serve como demonstração da distribuição normal e do teorema do limite central.

Em termos bem relaxados, esse teorema estabelece que quando um número muito grande de amostras é retirado de uma população, a distribuição da média das amostras se aproximará de uma distribuição normal. É sem dúvida um dos conceitos mais profundos e essenciais do mundo da estatística... e derrete cérebros com facilidade.

O tabuleiro de Galton

Os postes da máquina de Galton estão posicionados como uma pirâmide. Quando uma bolinha bate no poste, ela tem 50% de probabilidade de ir para a esquerda ou para a direita. Ao passar para a segunda fileira de postes, o processo se repete, mantendo os 50%.

Com um grande número de tentativas, o resultado esperado é que as bolinhas com uma quantidade muito semelhante de movimentos para a esquerda e para a direita sejam as mais comuns. Em outras palavras, o número de bolinhas no centro será maior.

A probabilidade de uma bolinha cair em uma das ranhuras na parte inferior segue o conceito de distribuição binomial, mas com a intervenção do teorema mencionado, a distribuição binomial se aproxima de uma distribuição normal.

A máquina de Galton ganha uma camada extra de complexidade ao colocar uma representação do triângulo de Pascal sobre os postes. Em essência, o número de cada célula no triângulo nos diz a quantidade de caminhos que uma bolinha pode tomar para chegar àquele poste.

Os números do triângulo são maiores no centro, ou seja, uma maior quantidade de rotas disponíveis para as bolinhas. Veja esta cópia do triângulo, e a célula do fundo, no centro. Uma bolinha tem 12.870 opções para acertar ali.