Maszyna Galtona: porządek ukryty w chaosie (wideo)

Kiedy widzimy w akcji maszynę Galtona, pierwsze, co przychodzi nam do głowy, to że wynalazca, statystyk i antropolog miał szczęście, że nie żył w średniowieczu. Sam fakt, że wszystkie kulki opadają wzdłuż krzywej za każdym razem, gdy obraca się urządzenie, może wydawać się aktem czarów, ale w rzeczywistości to czyste centralne twierdzenie graniczne. Jednak to nie wszystko: maszyna staje się jeszcze bardziej interesująca, gdy umieścimy na niej kopię trójkąta Pascala, ponieważ z tego połączenia wynikają pewne bardzo przydatne rzeczy.

Obracamy i powstaje krzywa. Kolejny obrót i znowu krzywa. Niezależnie od tego, ile razy spróbujemy, wynik jest (mniej więcej) taki sam: tysiące kulek tworzących krzywą na dole. Maszyna Galtona, zaprojektowana przez sir Francisa Galtona, służy jako demonstracja rozkładu normalnego i centralnego twierdzenia granicznego.

W bardzo luźnych słowach twierdzenie to mówi, że gdy z populacji pobierana jest bardzo duża liczba próbek, rozkład średnich próbek będzie zbliżony do rozkładu normalnego. To niewątpliwie jedno z najgłębszych i najważniejszych pojęć w świecie statystyki… i łatwo nim zaprzątnąć sobie umysł. Ale wróćmy do maszyny.

Tablica Galtona

Słupki maszyny Galtona ustawione są w kształt piramidy. Gdy kulka uderza w słupek, ma 50 procent szans na pójście w lewo lub w prawo. Przechodząc do drugiego rzędu słupków, proces ten się powtarza, zachowując 50 procent.

Przy dużej liczbie prób oczekiwany wynik jest taki, że kulki z bardzo podobną liczbą ruchów w lewo i w prawo będą najczęstsze. Innymi słowy, liczba kulek w centrum będzie większa.

Prawdopodobieństwo, że kulka wpadnie do jednej ze szczelin na dole, jest zgodne z rozkładem dwumianowym, ale dzięki wspomnianemu twierdzeniu rozkład dwumianowy przybliża się do rozkładu normalnego.

Maszyna Galtona zyskuje dodatkową warstwę złożoności, gdy na słupkach umieścimy reprezentację trójkąta Pascala. W istocie liczba w każdej komórce trójkąta mówi nam, ile dróg może obrać kulka, aby dotrzeć do tego słupka.

Liczby w trójkącie są większe w centrum, czyli jest tam więcej dostępnych tras dla kulek. Zobacz tę kopię trójkąta, a zobaczysz komórkę na dole, w centrum. Kulka ma 12 870 opcji, aby tam trafić.