Quand on voit la machine de Galton en action, la première chose à laquelle on pense est que l'inventeur, statisticien et anthropologue a eu de la chance de ne pas vivre au Moyen Âge. Le simple fait que toutes les billes tombent en suivant une courbe à chaque fois que l'on fait tourner l'appareil ressemble presque à un acte de sorcellerie, mais en réalité c'est pur théorème central limite. Cependant, ce n'est pas tout : la machine devient encore plus intéressante lorsqu'on place dessus une copie du triangle de Pascal, car de cette combinaison émergent quelques ressources très utiles.
On tourne, et une courbe se forme. Un autre tour, et encore une courbe. Peu importe combien de fois on essaie, le résultat est (plus ou moins) le même : des milliers de billes créant une courbe au fond. La machine de Galton, conçue par Sir Francis Galton, sert de démonstration de la distribution normale et du théorème central limite.
En termes très très simplifiés, ce théorème établit que lorsqu'un très grand nombre d'échantillons est prélevé sur une population, la distribution de la moyenne des échantillons se rapprochera d'une distribution normale. C'est sans doute l'un des concepts les plus profonds et essentiels du monde des statistiques… et il fait facilement fondre les cerveaux. Mais revenons à la machine.
La planche de Galton
Les poteaux de la machine de Galton sont positionnés comme une pyramide. Lorsqu'une bille heurte un poteau, elle a 50 % de chances d'aller vers la gauche ou vers la droite. En passant à la deuxième rangée de poteaux, ce processus se répète, en conservant les 50 %.
À travers un grand nombre d'essais, le résultat attendu est que les billes ayant un nombre très similaire de mouvements à gauche et à droite soient les plus courantes. En d'autres termes, le nombre de billes au centre sera plus grand.
La probabilité qu'une bille tombe dans l'une des fentes en bas suit le concept de distribution binomiale, mais avec l'intervention du théorème susmentionné, la distribution binomiale se rapproche d'une distribution normale.
La machine de Galton gagne une complexité supplémentaire lorsqu'on place une représentation du triangle de Pascal sur les poteaux. En substance, le nombre dans chaque cellule du triangle nous indique le nombre de chemins qu'une bille peut emprunter pour atteindre ce poteau.
Les nombres du triangle sont plus grands au centre, c'est-à-dire qu'il y a un plus grand nombre de chemins disponibles pour les billes. Voir cette copie du triangle, et la cellule du bas, au centre. Une bille a 12 870 options pour y atterrir.
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