Macchina di Galton: l'ordine nascosto nel caos (video)

Quando vediamo in azione la macchina di Galton, la prima cosa che pensiamo è che l'inventore, statistico e antropologo, sia stato fortunato a non vivere nel Medioevo. Il semplice fatto che tutte le palline cadano seguendo una curva ogni volta che si gira l'apparecchio sembra quasi un atto di stregoneria, ma in realtà è puro teorema del limite centrale. Tuttavia, non è tutto: la macchina diventa ancora più interessante quando si pone sopra una copia del triangolo di Pascal, perché da questa combinazione emergono alcune risorse molto utili.

Giriamo, e si forma una curva. Un altro giro, e di nuovo una curva. Non importa quante volte proviamo, il risultato è (più o meno) lo stesso: migliaia di palline che creano una curva sul fondo. La macchina di Galton, progettata da Sir Francis Galton, serve come dimostrazione della distribuzione normale e del teorema del limite centrale.

In termini molto molto rilassati, quel teorema stabilisce che quando un numero molto grande di campioni viene prelevato da una popolazione, la distribuzione della media dei campioni si avvicinerà a una distribuzione normale. È senza dubbio uno dei concetti più profondi ed essenziali nel mondo della statistica… e scioglie il cervello facilmente. Ma torniamo alla macchina.

La tavola di Galton

I paletti della macchina di Galton sono disposti a forma di piramide. Quando una pallina colpisce un paletto, ha il 50% di probabilità di andare a sinistra o a destra. Passando alla seconda fila di paletti, il processo si ripete, mantenendo il 50%.

Con un ampio numero di tentativi, il risultato atteso è che le palline con un numero molto simile di movimenti a sinistra e a destra siano le più comuni. In altre parole, il numero di palline al centro sarà maggiore.

La probabilità che una pallina cada in una delle fessure nella parte inferiore segue il concetto di distribuzione binomiale, ma con l'intervento del teorema sopra menzionato, la distribuzione binomiale si approssima a una distribuzione normale.

La macchina di Galton guadagna un ulteriore livello di complessità quando si pone una rappresentazione del triangolo di Pascal sui paletti. In sostanza, il numero in ogni cella del triangolo ci dice il numero di percorsi che una pallina può intraprendere per raggiungere quel paletto.

I numeri del triangolo sono più grandi al centro, cioè un maggior numero di percorsi disponibili per le palline. Guarda questa copia del triangolo, e la cella in fondo, al centro. Una pallina ha 12.870 opzioni per colpire lì.