Wanneer we de Galton-machine in actie zien, denken we eerst dat de uitvinder, statisticus en antropoloog het geluk had niet in de Middeleeuwen te leven. Het feit dat alle balletjes telkens een curve volgen wanneer het apparaat wordt omgedraaid, lijkt bijna tovenarij, maar in werkelijkheid is het pure centrale limietstelling. Maar dat is nog niet alles: de machine wordt nog interessanter wanneer we er een kopie van de driehoek van Pascal op plaatsen, want uit die combinatie komen enkele zeer nuttige eigenschappen voort.
We draaien, en er ontstaat een curve. Nog een draai, en opnieuw een curve. Ongeacht hoe vaak we het proberen, het resultaat is (min of meer) hetzelfde: duizenden balletjes die een curve vormen aan de onderkant. De Galton-machine, ontworpen door Sir Francis Galton, dient als demonstratie van de normale verdeling en de centrale limietstelling.
In zeer losse termen stelt die stelling dat wanneer een zeer groot aantal steekproeven uit een populatie wordt genomen, de verdeling van het gemiddelde van die steekproeven een normale verdeling zal benaderen. Het is ongetwijfeld een van de diepste en meest essentiële concepten in de wereld van de statistiek... en het doet hersenen gemakkelijk smelten. Laten we terugkeren naar de machine.
Het Galton-bord
De paaltjes van de Galton-machine zijn opgesteld als een piramide. Wanneer een balletje tegen een paaltje botst, heeft het 50 procent kans om naar links of naar rechts te gaan. Bij de tweede rij paaltjes herhaalt dit proces zich, met behoud van de 50 procent.
Bij een groot aantal pogingen is het verwachte resultaat dat balletjes met een zeer vergelijkbaar aantal bewegingen naar links en naar rechts het meest voorkomen. Met andere woorden, het aantal balletjes in het midden zal groter zijn.
De kans dat een balletje in een van de sleuven onderaan terechtkomt, volgt het concept van de binomiale verdeling, maar met de tussenkomst van de eerder genoemde stelling benadert de binomiale verdeling een normale verdeling.
De Galton-machine krijgt een extra laag van complexiteit wanneer we een voorstelling van de driehoek van Pascal over de paaltjes plaatsen. In essentie vertelt het getal van elke cel in de driehoek ons het aantal paden dat een balletje kan nemen om dat paaltje te bereiken.
De getallen in de driehoek zijn groter in het midden, dus er zijn meer routes beschikbaar voor de balletjes. Bekijk deze kopie van de driehoek, en kijk naar de cel onderaan in het midden. Een balletje heeft 12.870 opties om daar te raken.
https://old.neoteo.com/por-que-277777788888899-es-especial/
