La persistencia de un número es la cantidad de veces que se aplica una operación sobre un entero hasta que esa operación ya no puede alterarlo por su reducción. Puede basarse en sumas o ser multiplicativa, y precisamente esta última es la que atrae nuestro interés. El objetivo suele ser hallar los números más pequeños con el mayor número de pasos posibles. La hipótesis vigente sugiere que no existen números con una persistencia superior a 11, y aquí es donde aparece el extraño 277777788888899. ¿Qué lo hace tan especial?

Veamos un ejemplo sencillo. Tomemos un número de cuatro dígitos, por ejemplo, 7793. Calcular su persistencia multiplicativa es muy fácil: multiplicamos sus dígitos, tomamos el resultado y repetimos el proceso hasta que ya no sea posible. Así: 7×7×9×3 = 1323, luego 1×3×2×3 = 18, y finalmente 1×8 = 8. La persistencia multiplicativa de 7793 es de apenas 3 pasos.

Ahora, si eliminamos la regla de los cuatro dígitos y pensamos en un número cualquiera, el reto es encontrar uno que supere los 11 pasos de persistencia. Pero ojo: es mucho más complicado de lo que parece. ¿Quieres una demostración?

El caso de 277777788888899

En un reciente vídeo publicado por el canal Numberphile se explora la peculiar condición de 277777788888899. Una variante interesante de este ejercicio es encontrar los números bajos con una persistencia específica, y 277777788888899 es el más pequeño de la persistencia 11.

Al principio, el vídeo dedica un par de minutos al cálculo tradicional, pero quienes sepan algo de programación seguro que aprecian el código que se muestra para el cálculo automático. La reducción manual de 2×7×7×7×7×7×7×8×8×8×8×8×8×9×9 sigue esta secuencia:

  • 4996238671872
  • 438939648
  • 4478976
  • 338688
  • 27648
  • 2688
  • 768
  • 336
  • 54
  • 20
  • 0

La búsqueda de una persistencia mayor

La gran pregunta es si existe de verdad un número con una persistencia mayor a 11. La recomendación que da Numberphile es no buscarlo por debajo de 10^233 (allí no lo han encontrado), evitar por completo el dígito 5 y priorizar el uso de 7, 8 y 9. Si sabes programar o crees que puedes mejorar el código empleado por Numberphile, estás invitado a intentarlo.

(Del Archivo de NeoTeo, artículo originalmente publicado el 29 de marzo de 2019)

https://old.neoteo.com/ramanujan-bot-extension-para-resolver-ecuaciones-y-problemas-matematicos/