Persistenza dei numeri: perché 277777788888899 è speciale

L'affascinante mondo della persistenza dei numeri

Ogni tanto appare un numero che fa fermare i matematici. Uno di questi è 277777788888899, che ha catturato l'attenzione per la sua notevole persistenza moltiplicativa. Ma cosa significa esattamente?

Cos'è la persistenza moltiplicativa?

La persistenza di un numero è definita come il numero di volte che applichiamo un'operazione a un intero fino a raggiungere un punto in cui l'operazione non può più alterarlo a causa della sua riduzione. Tale persistenza può basarsi su somme, o essere moltiplicativa – quest'ultima è quella che ci interessa oggi. Una delle priorità dietro l'esercizio è trovare i numeri più piccoli con il maggior numero di passi. L'ipotesi vigente suggerisce che non esistono numeri con una persistenza superiore a 11, ed è qui che entra in gioco lo strano 277777788888899. Cosa ha di diverso?

Facciamo una piccola prova. Scegli un numero intero di quattro cifre. Io farò lo stesso qui, diciamo… 7793. Calcolare la persistenza moltiplicativa di questo numero è molto semplice. Tutto ciò che richiede è moltiplicare le sue cifre, prendere il risultato e ripetere il processo finché non è più possibile. Vediamo:

• 7 × 7 × 9 × 3 = 1323
• 1 × 3 × 2 × 3 = 18
• 1 × 8 = 8

La persistenza moltiplicativa di 7793 è di appena 3 passi. Ora, eliminiamo la regola delle quattro cifre e pensa a un numero qualsiasi. La tua missione, se decidi di accettarla, è trovarne uno che superi gli 11 passi di persistenza. Ma attenzione: è molto più complicato di quanto sembri. Che ne dici di una dimostrazione?

La persistenza di 277777788888899

In un recente video pubblicato dal canale Numberphile esplorano la peculiare condizione di 277777788888899. Una variante interessante per tutto l'esercizio è trovare i numeri bassi per una persistenza specifica, e 277777788888899 è il più piccolo della persistenza 11.

All'inizio dedicano un paio di minuti al calcolo tradizionale, ma coloro che sanno un po' di programmazione probabilmente saranno più interessati al codice che scrivono per il calcolo automatico. La riduzione manuale di 2 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 9 × 9 segue questo schema:

• 4996238671872
• 438939648
• 4478976
• 338688
• 27648
• 2688
• 768
• 336
• 54
• 20
• 0

La grande domanda è se esista davvero un numero con una persistenza maggiore di 11. Il consiglio di Numberphile è di non cercarlo sotto 10^233 (non ne hanno trovato), di evitare completamente il 5 e di dare priorità all'uso di 7, 8 e 9. Se sai scrivere codice o credi di poter migliorare quello usato da Numberphile, sei invitato.

(Dall'Archivio di NeoTeo, articolo originariamente pubblicato il 29 marzo 2019)