Getalpersistentie: waarom 277777788888899 bijzonder is

De fascinerende wereld van getalpersistentie

Zo nu en dan duikt een getal op dat wiskundigen doet stilstaan. Zo'n getal is 277777788888899, dat de aandacht heeft getrokken vanwege zijn opmerkelijke multiplicatieve persistentie. Maar wat betekent dat eigenlijk?

Wat is multiplicatieve persistentie?

De persistentie van een getal wordt gedefinieerd als het aantal keren dat we een bewerking op een geheel getal toepassen totdat die bewerking het niet meer kan veranderen vanwege de reductie. Deze persistentie kan gebaseerd zijn op sommen, of multiplicatief zijn – en dat laatste is wat ons vandaag interesseert. Een van de prioriteiten achter de oefening is het vinden van de kleinste getallen met het grootste aantal stappen. De heersende hypothese suggereert dat er geen getallen bestaan met een persistentie groter dan 11, en daar komt het vreemde 277777788888899 om de hoek kijken. Wat is er anders aan?

Laten we een kleine test doen. Kies een geheel getal van vier cijfers. Ik doe hier hetzelfde, laten we zeggen… 7793. Het berekenen van de multiplicatieve persistentie van dit getal is heel eenvoudig. Het enige wat nodig is, is de cijfers vermenigvuldigen, het resultaat nemen en het proces herhalen totdat het niet meer mogelijk is. Laten we kijken:

• 7 × 7 × 9 × 3 = 1323
• 1 × 3 × 2 × 3 = 18
• 1 × 8 = 8

De multiplicatieve persistentie van 7793 is slechts 3 stappen. Laten we nu de regel van vier cijfers weglaten en denk aan een willekeurig getal. Jouw missie, als je besluit deze te aanvaarden, is er een te vinden die de 11 stappen van persistentie overschrijdt. Maar wees voorzichtig: het is veel ingewikkelder dan het lijkt. Wat dacht je van een demonstratie?

De persistentie van 277777788888899

In een recent gepubliceerde video door het Numberphile-kanaal onderzoeken ze de eigenaardige toestand van 277777788888899. Een interessante variant voor de hele oefening is het vinden van de kleine getallen voor een specifieke persistentie, en 277777788888899 is het kleinste van persistentie 11.

In het begin besteden ze een paar minuten aan de traditionele berekening, maar degenen die wat programmeren kennen, zijn waarschijnlijk meer geïnteresseerd in de code die ze schrijven voor de automatische berekening. De handmatige reductie van 2 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 9 × 9 volgt dit patroon:

• 4996238671872
• 438939648
• 4478976
• 338688
• 27648
• 2688
• 768
• 336
• 54
• 20
• 0

De grote vraag is of er werkelijk een getal bestaat met een persistentie groter dan 11. De aanbeveling van Numberphile is om niet onder 10^233 te zoeken (ze hebben er geen gevonden), de 5 volledig te vermijden en prioriteit te geven aan het gebruik van 7, 8 en 9. Als je code kunt schrijven of denkt dat je die van Numberphile kunt verbeteren, ben je uitgenodigd.

(Uit het NeoTeo-archief, artikel oorspronkelijk gepubliceerd op 29 maart 2019)