Le monde fascinant de la persistance des nombres

De temps en temps, un nombre apparaît et fait réfléchir les mathématiciens. L'un d'eux est 277777788888899, qui a attiré l'attention en raison de sa remarquable persistance multiplicative. Mais qu'est-ce que cela signifie exactement ?

Qu'est-ce que la persistance multiplicative ?

La persistance d'un nombre est définie comme le nombre de fois que nous appliquons une opération à un entier jusqu'à atteindre un point où cette opération ne peut plus le modifier en raison de sa réduction. Cette persistance peut être basée sur des sommes, ou être multiplicative – c'est cette dernière qui nous intéresse aujourd'hui. L'un des objectifs derrière l'exercice est de trouver les plus petits nombres avec le plus grand nombre d'étapes. L'hypothèse en vigueur suggère que aucun nombre avec une persistance supérieure à 11 n'existe, et c'est là qu'intervient l'étrange 277777788888899. Qu'a-t-il de différent ?

Faisons un petit test. Choisissez un nombre entier à quatre chiffres. Je ferai de même ici, disons… 7793. Calculer la persistance multiplicative de ce nombre est très simple. Tout ce qu'il faut, c'est multiplier ses chiffres, prendre le résultat et répéter le processus jusqu'à ce que ce ne soit plus possible. Voyons :

  • 7 × 7 × 9 × 3 = 1323
  • 1 × 3 × 2 × 3 = 18
  • 1 × 8 = 8

La persistance multiplicative de 7793 est de seulement 3 étapes. Maintenant, éliminons la règle des quatre chiffres et pense à un nombre quelconque. Ta mission, si tu décides de l'accepter, est d'en trouver un qui dépasse les 11 étapes de persistance. Mais attention : c'est beaucoup plus compliqué qu'il n'y paraît. Et si on faisait une démonstration ?

La persistance de 277777788888899

Dans une récente vidéo publiée par la chaîne Numberphile, ils explorent la condition particulière de 277777788888899. Une variante intéressante pour tout l'exercice est de trouver les petits nombres pour une persistance spécifique, et 277777788888899 est le plus petit de la persistance 11.

Au début, ils consacrent quelques minutes au calcul traditionnel, mais ceux qui savent un peu programmer seront probablement plus intéressés par le code écrit pour le calcul automatique. La réduction manuelle de 2 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 9 × 9 suit ce schéma :

  • 4996238671872
  • 438939648
  • 4478976
  • 338688
  • 27648
  • 2688
  • 768
  • 336
  • 54
  • 20
  • 0

La grande question est de savoir si un nombre ayant une persistance supérieure à 11 existe réellement. Le conseil de Numberphile est de ne pas chercher en dessous de 10^233 (ils n'en ont pas trouvé), d'éviter complètement le 5 et de privilégier l'utilisation de 7, 8 et 9. Si vous savez écrire du code ou pensez pouvoir améliorer celui utilisé par Numberphile, vous êtes invité.

https://old.neoteo.com/ramanujan-bot-extension-para-resolver-ecuaciones-y-problemas-matematicos/

(Extrait des archives de NeoTeo, article publié à l'origine le 29 mars 2019)