Persistência de números: por que 277777788888899 é especial

O fascinante mundo da persistência dos números

De vez em quando, aparece um número que faz os matemáticos pararem. Um deles é 277777788888899, que chamou atenção por sua notável persistência multiplicativa. Mas o que isso realmente significa?

O que é persistência multiplicativa?

A persistência de um número é definida como o número de vezes que aplicamos uma operação sobre um inteiro até alcançar um ponto em que essa operação não consegue mais alterá-lo devido à sua redução. Essa persistência pode ser baseada em somas, ou ser multiplicativa – e esta última é a que nos interessa hoje. Uma das prioridades por trás do exercício é encontrar os números mais baixos com o maior número de passos. A hipótese vigente sugere que não existem números com uma persistência superior a 11, e é aí que entra o estranho 277777788888899. O que ele tem de diferente?

Vamos fazer um pequeno teste. Escolha um número inteiro de quatro dígitos. Eu farei o mesmo aqui, digamos… 7793. Calcular a persistência multiplicativa desse número é muito simples. Tudo o que é necessário é multiplicar seus dígitos, pegar o resultado e repetir o processo até que não seja mais possível. Vejamos:

• 7 × 7 × 9 × 3 = 1323
• 1 × 3 × 2 × 3 = 18
• 1 × 8 = 8

A persistência multiplicativa de 7793 é de apenas 3 passos. Agora, eliminemos a regra de quatro dígitos e pense em um número qualquer. Sua missão, se decidir aceitá-la, é encontrar um que supere os 11 passos de persistência. Mas tenha cuidado: é muito mais complicado do que parece. Que tal uma demonstração?

A persistência de 277777788888899

Em um vídeo recente publicado pelo canal Numberphile, eles exploram a condição peculiar de 277777788888899. Uma variante interessante para todo o exercício é encontrar os números baixos para uma persistência específica, e 277777788888899 é o menor da persistência 11.

No início, eles dedicam alguns minutos ao cálculo tradicional, mas aqueles que sabem um pouco de programação provavelmente estarão mais interessados no código que escrevem para o cálculo automático. A redução manual de 2 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 9 × 9 segue este padrão:

• 4996238671872
• 438939648
• 4478976
• 338688
• 27648
• 2688
• 768
• 336
• 54
• 20
• 0

A grande questão é se existe mesmo um número com persistência maior que 11. A recomendação do Numberphile é não procurá-lo abaixo de 10^233 (eles não encontraram), evitar completamente o 5 e priorizar o uso de 7, 8 e 9. Se você sabe escrever código ou acredita que pode melhorar o usado pelo Numberphile, está convidado.

(Do Arquivo do NeoTeo, artigo originalmente publicado em 29 de março de 2019)