Trwałość liczb: dlaczego 277777788888899 jest szczególna

Fascynujący świat trwałości liczb

Od czasu do czasu pojawia się liczba, która skłania matematyków do zastanowienia. Jedną z nich jest 277777788888899, która przyciągnęła uwagę ze względu na swoją niezwykłą multiplikatywną trwałość. Ale co to właściwie oznacza?

Czym jest multiplikatywna trwałość?

Trwałość liczby jest definiowana jako liczba razy, gdy zastosujemy operację na liczbie całkowitej, aż osiągniemy punkt, w którym ta operacja nie może jej już zmienić z powodu jej redukcji. Ta trwałość może opierać się na sumach lub być multiplikatywna – i ta ostatnia nas dziś interesuje. Jednym z priorytetów stojących za tym ćwiczeniem jest znalezienie najmniejszych liczb o największej liczbie kroków. Obecna hipoteza sugeruje, że nie istnieją liczby o trwałości większej niż 11 i w tym miejscu pojawia się dziwna 277777788888899. Co jest w niej wyjątkowego?

Zróbmy mały test. Wybierz liczbę całkowitą czterocyfrową. Ja zrobię to samo tutaj, powiedzmy… 7793. Obliczenie multiplikatywnej trwałości tej liczby jest bardzo proste. Wystarczy pomnożyć jej cyfry, wziąć wynik i powtórzyć proces, aż nie będzie to już możliwe. Zobaczmy:

• 7 × 7 × 9 × 3 = 1323
• 1 × 3 × 2 × 3 = 18
• 1 × 8 = 8

Multiplikatywna trwałość 7793 to zaledwie 3 kroki. Teraz usuńmy zasadę czterech cyfr i pomyśl o dowolnej liczbie. Twoja misja, jeśli zdecydujesz się ją przyjąć, to znaleźć taką, która przekracza 11 kroków trwałości. Ale uważaj: to znacznie trudniejsze, niż się wydaje. Co powiesz na demonstrację?

Trwałość liczby 277777788888899

W niedawno opublikowanym filmie przez kanał Numberphile odkrywają szczególny warunek 277777788888899. Ciekawym wariantem całego ćwiczenia jest znalezienie małych liczb dla określonej trwałości, a 277777788888899 jest najmniejszą z trwałością 11.

Na początku poświęcają kilka minut na tradycyjne obliczenia, ale ci, którzy znają się na programowaniu, będą prawdopodobnie bardziej zainteresowani kodem napisanym do automatycznego obliczania. Ręczna redukcja 2 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 9 × 9 przebiega według tego wzorca:

• 4996238671872
• 438939648
• 4478976
• 338688
• 27648
• 2688
• 768
• 336
• 54
• 20
• 0

Wielkie pytanie brzmi, czy naprawdę istnieje liczba o trwałości większej niż 11. Zalecenie Numberphile to nie szukać poniżej 10^233 (nie znaleźli żadnej), całkowicie unikać cyfry 5 i priorytetowo używać 7, 8 i 9. Jeśli umiesz pisać kod lub uważasz, że możesz ulepszyć ten używany przez Numberphile, jesteś zaproszony.

(Z archiwum NeoTeo, artykuł pierwotnie opublikowany 29 marca 2019 r.)