Dans un préprint daté du 8 septembre 2026, Youness Lamzouri présente une preuve différente d’une borne liée à un résultat de Claude. Claude n’a ni démontré ni réfuté l’hypothèse de Riemann : la borne porte sur une proportion de zéros, alors que la conjecture concerne chacun des zéros non triviaux de la fonction zêta.

Claude n’a pas démontré l’hypothèse de Riemann

L’hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann se trouvent sur une même droite, appelée la droite critique. La conjecture fixe précisément cette droite à la partie réelle 1/2.

Un résultat sur une proportion de zéros ne suffit donc pas à établir la conjecture : celle-ci exige que chaque zéro non trivial soit sur la droite critique. Anthropic indique que le travail de Claude n’a ni démontré ni réfuté l’hypothèse.

Ce que mesurent les bornes

Le préprint de Lamzouri énonce plusieurs résultats, chacun portant sur une propriété distincte des zéros non triviaux :

  • Plus de 67,25 % sont à la fois simples et situés sur la droite critique. Un zéro simple a une multiplicité égale à un.
  • Au moins 83,62 % sont distincts.
  • Au moins 88,76 % sont simples ou se trouvent sur la droite critique, ou réunissent ces deux propriétés.
  • Moins de 11,24 % sont à la fois hors de la droite critique et de multiplicité supérieure ou égale à deux.

Ces bornes ne décrivent pas toutes le même ensemble de zéros : être distinct, être simple et se trouver sur la droite critique sont des propriétés différentes.

Une autre approche, inspirée par Claude

Lamzouri indique que le résultat de Claude a inspiré son travail, mais sa preuve emprunte une autre voie. L’argument de Claude repose sur une représentation matricielle de dimension finie et une inégalité reliant le rang et la trace. Lamzouri utilise plutôt une inégalité dans un espace de Hilbert et une version inconditionnelle du théorème de corrélation par paires de Montgomery.

Anthropic rapporte que la version de recherche non publiée de Claude a travaillé sur le problème au cours de deux sessions. La société indique que ce travail a mobilisé 31 millions de jetons générés, environ 60 sous-agents et 2 400 commandes shell.