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Conjetura de Mertens: Una fabulosa contradicción matemática

Una locura de raíces y números primos que deberías conocer


Algunos problemas matemáticos pueden ser resueltos en un tiempo razonable. Otros… demandan décadas enteras, y a pesar del resultado final, uno nunca logra despejar la sensación de que hay algo mal en todo el proceso. Uno de los ejemplos más contundentes es la llamada Conjetura de Mertens, que se remonta al año 1885. Los expertos necesitaron cien años para probar que la conjetura es falsa, pero toda la evidencia disponible que tenemos (y que vamos a tener en el futuro) sugiere lo contrario…

Entonces… ¿cómo funciona eso exactamente? En términos generales, «parece cierto pero es falso», sin embargo, cualquier matemático serio nos arrojaría un zapato a la cabeza si nos quedamos allí. La historia comienza con una duda: Si tomas un número aleatorio, ¿es más probable que posea un número par de factores primos, o un número impar?

Por ejemplo, tomemos el caso de 10: Si lo separamos en factores primos, la solución es 2 x 5, o sea que el número de factores es par. En cambio, si nos enfocamos en cualquier número primo, el número de factores primos es automáticamente impar. Pero existe una condición adicional que no podemos ignorar, y es cuando los factores primos se repiten (ej.: 12 = 2 x 2 x 3). Así llegamos a la primera mitad de la Conjetura de Mertens, con la función μ(n). Tal y como lo explica la doctora Holly Krieger en el vídeo, las posibilidades para μ(n) son tres:



  1. Si «n» tiene un número par de factores primos que no se repiten, el valor es 1.
  2. Si «n» tiene un número impar de factores primos que no se repiten, el valor es -1.
  3. Si «n» tiene factores repetidos, el valor es 0.

El resto es cuestión de proyectar: El valor de «n» para 1 es 1, para 2 es -1, 3 es -1 de nuevo, 4 es 0 (porque 2 x 2 repite factores), 5 es -1, 6 es 1, y así sucesivamente… pero todavía debemos responder la pregunta original: ¿Factores pares, o factores impares? Para buscar la respuesta, la idea es sumar todos los valores de «n», y ver de qué lado queda el total M(n), si es positivo (par) o si es negativo (impar).



Y aquí es cuando la segunda mitad de la Conjetura hace acto de presencia: En 1885, el matemático Thomas Joannes Stieltjes le envió una carta a sus colegas Charles Hermite y Franz Mertens declarando que M(n) (hoy conocida como función de Mertens) nunca puede ser más grande que la raíz cuadrada de «n», ya sea negativa o positiva. Si volcamos todo el poder de fuego informático que tenemos a un gráfico, vamos a ver que M(n) oscila casi de forma caótica, pero parece responder correctamente al anuncio de Stieltjes:


M(n) proyectada con sus raíces cuadradas hasta el número 10.000. Si nos detenemos ahí, la conjetura parece cierta, PERO…

El problema es… que la conjetura es falsa. En un extremo muy, muy, muy superior del gráfico, M(n) cruza la barrera de la raíz cuadrada, por más que todos nuestros cálculos sugieran lo contrario. Los matemáticos Andrew Odlyzko y Herman te Riele probaron en 1985 con la ayuda del algoritmo de simplificación de bases de retículos de Lenstra–Lenstra–Lovász (o «LLL») que la conjetura se quiebra al nivel de 10^(10^23)un número tan grande, que no nos alcanzan los átomos en el Universo para representarlo. Al mismo tiempo, si la conjetura de Mertens fuera cierta, eso implicaría que la archifamosa hipótesis de Riemann también es cierta, una historia muy interesante para explorar… en otro momento.


Fuente: Numberphile en YouTube



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Escrito por Lisandro Pardo

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