O cabo pendurado: o problema a resolver para trabalhar na Amazon

Diz a lenda que este e outros problemas semelhantes apareceram nas entrevistas internas da Amazon para engenheiros de software e desenvolvedores nos últimos anos. Além de isso ser verdade ou não, agora temos dois postes com 50 metros de altura, unidos por um cabo suspenso de 80 metros de comprimento. O centro do cabo (e, por extensão, seu ponto mais próximo do chão) está flutuando a 20 metros do solo. A pergunta é: qual é a distância entre os dois postes?

Não é a primeira vez que algo assim acontece. Às vezes, entrevistas de emprego simplesmente procuram tirar os candidatos do seu elemento, avaliar sua velocidade de resposta, sua adaptabilidade, sua criatividade e, por que não, sua reação diante do fracasso, uma espécie de “mini-Kobayashi Maru”, se quiser.

Nesta ocasião, o que temos em mãos traz um tempero extra. Supõe-se que uma variante do exercício apareceu em um teste da Amazon para seus potenciais engenheiros, mas foi explorada a fundo por Neil Chatterjee e Bogdan G. Nita no volume 4 do Atlantic Electronic Journal of Mathematics de 2010:

A solução

Dois postes, unidos por um cabo suspenso. Cada poste mede 50 metros de altura. O comprimento total do cabo é de 80 metros, e seu ponto mais baixo está a 20 metros do solo. A dúvida a resolver é qual distância separa os dois postes. Muitas pessoas tentam seguir exclusivamente o caminho da física, determinar tensão e curvas, mas ao mesmo tempo são necessárias soluções matemáticas, e falo no plural porque requer mais de uma fórmula. Mas antes disso, parta o gráfico ao meio, atravessando vertical e horizontalmente o ponto mais baixo do cabo.

Com este gráfico modificado, as coisas ficam um pouco mais claras: Nosso objetivo é resolver X e multiplicar por dois. Primeiro atacamos o ponto mais alto do poste com:

Que com seus valores atribuídos e uma realocação do -a fica em:

E mais profundo ainda:

A segunda equação se concentra em a metade do comprimento do cabo:

Que processamos um pouco mais:

Por último, aplicamos identidade hiperbólica:

E introduzimos os valores:

O que nos dá um valor para a de 35/3, ou 11.6 periódico. Com o valor de a estabelecido, voltamos à segunda equação, injetamos os novos parâmetros:

E resolvemos x, que nos dá 22.7 metros. Se nos lembramos, x representa a metade da distância, portanto, a resposta definitiva é 45.4 metros. Uma coisa é certa: Jamais vou trabalhar para a Amazon se perguntarem isso. Que fiquem com seus postes e seus cabos.