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La espiral de Ulam


Hasta los momentos de aburrimiento sirven para descubrir cosas apasionantes cuando uno es un genio. En 1963, el matemático Stanisław Ulam se encontraba en una conferencia científica y comenzó a hacer garabatos sobre un papel. Dispuso los números enteros sobre una espiral, y luego comenzó a marcar los números primos. Descubrió una serie de patrones regulares en forma de diagonales que se convirtieron en el artículo de la portada de la revista Scientific American al año siguiente. La espiral de Ulam es algo que aún hoy mantiene ocupados a los especialistas.

Los matemáticos dicen que un número natural es “primo” cuando tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Estos números han intrigado a los matemáticos desde hace siglos, y al día de hoy no existe ninguna fórmula que genere toda la serie de primos. Se sabe que son infinitos, y son una parte importante de la teoría de números. Los números primos forman parte de algunos trabajos centenarios, como la hipótesis de Riemann o la conjetura de Goldbach, y la dificultad que presenta la determinación de los factores primos de un número grande –uno que tenga cientos o miles de dígitos– los ha convertido en la llave ideal para muchos sistemas de criptografía.

“La espiral de Ulam” aún hoy mantiene ocupados a los especialistas.

El primer número primo es el 2. Lo siguen el 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. La distribución de los números primos sobre la “recta” de los números naturales parece ser completamente aleatoria aunque, como es lógico, la limitación que impone el hecho de que solamente puedan ser divididos por si mismos y por 1 hace que esta distribución no sea -estrictamente hablando- completamente al azar. Muchos matemáticos (probablemente todos) se sienten muy atraídos por estos números.

Uno de ellos fue el polaco estadounidense Stanisław Marcin Ulam, que  en 1963 hizo un descubrimiento muy interesante. Ulam había asistido a una conferencia científica cuyo contenido le resultaba absolutamente aburrido. Tenía papel y lápiz, así que comenzó a garabatear cosas, como cualquiera de nosotros hace mientras habla por teléfono o -como Ulam- está pensando en cualquier cosa. Pero a diferencia de los simples mortales, Stanisław era un matemático de raza, así que en lugar de monigotes o corazoncillos dibujó números. Sin ningún plan preconcebido, fue escribiendo los números enteros a lo largo de una espiral, tal como se ve en la imagen siguiente:

Ulam dispuso los números enteros sobre una espiral.

Luego de dibujar unas cuantas vueltas de números, y viendo que la conferencia seguía su derrotero sin tocar algún tema que fuese de su interés, comenzó a marcar los números primos. Señaló el 2, luego el 3, el 5 y así, hasta que luego de haber marcado algunas docenas de números, se encontró con un patrón parecido al siguiente:

Y luego fue marcando los números que eran primos.

Rápidamente notó que los números que quedaban sobre la espiral -los “primos”- se agrupaban siguiendo patrones diagonales. A pesar de que seguía siendo difícil predecir donde “caería” el próximo primo, el aspecto que mostraba el gráfico resultante era a todas luces algo muy diferente a una distribución azarosa. Es fácil ver que los números se agrupan en lineas diagonales de diferentes longitudes. Dado que todos los primos (si dejamos de lado el 2) son impares y que en la espiral de Ulam algunas diagonales contienen números impares y otras pares, los números primos caen en diagonales alternas. Dada su naturaleza irregular, estas estas diagonales contienen proporciones diferentes de  números primos.

El gráfico resultante es muy atractivo.

Utilizando ordenadores se han graficado “espirales de Ulam” de tamaños enormes. Invariablemente, y sin importar qué tan grande se haga la espiral, las diagonales mencionadas siguen apareciendo. Esto ocurre aún cuando el número central no sea uno. De hecho, puede utilizarse cualquier número como inicio de la espiral y el resultado es siempre parecido. Como es lógico, las espirales generadas cuando se toman números diferentes no son idénticas, pero siempre muestran esas diagonales.

El “trabajo” que hizo Ulam mientras se aburría en esa conferencia rápidamente se hizo famoso entre sus colegas. Tanto, que la portada de la afamada revista Scientific American de marzo de 1964 tenía, como artículo destacado, esta espiral. A pesar de todo, el aporte de Ulam no ha servido aún para desarrollar ninguna aplicación revolucionaria de los números primos o para encontrar algún sistema más rápido que permita factorizar un número en menos tiempo. Sin embargo, los especialistas no pierden las esperanzas de que, algún día, esta espiral arroje luz sobre la naturaleza de estos intrigantes números.

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Escrito por Ariel Palazzesi

Comentarios

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  1. Bastante curioso, del tedio tambien pueden salir cosas novedosas. sin embargo no debe ser muy alagüeño para el conferencista enterarse que su disertación aburrida causo este descubrimiento.

  2. Viendo el grafico me recuerda a una ciudad vista desde arriba y su planificacion casi perfecta, de repente podriamos distribuir nuestras ciudades usando este patron …

    • Excelente idea. La solución a los problemas es la planeación. Aunque dudo que todo sea cuantificable matemáticamente. En la ciencias humanísticas y sociales poco pueden explicar las matemáticas, aunque se les utiliza en estadísticas.

  3. Si le grabamos este patrón en la memoria de un robot, obtendrá los numeros primos velozmente y sin cálculos, además ocuparía muy poca memoria (sólo una imagen).
    Estas son las aplicaciones que nesesitamos para una IA, y quién sabe si nuestras neuronas graben las cosas de forma parecida…

    • Qué mundo generoso… Cómo haría el robot para calcular los números primos? Por si no sabías, la "inteligencia" que posee un robot, es pura y exclusivamente programada por un hombre… Si no existe un algoritmo para calcular los primos, ningún "robot" lo hará.

      Mas allá de eso, muy interesante la nota, hace un par de meses empezamos a hablar en la facu sobre los primos con mis compañeros… Todos leemos Neoteo, así que ya charlaremos sobre el tema…

      • Técnicamente si existe un algoritmo para el cálculo de los números primos, lo que en realidad no existe es una fórmula de cálculo, es bueno diferenciar aquello. saludos muy bueno al artículo aunque me quedan más dudas que respuetas sobretodo porque la espiral se podría construir bajo diversos parámetros que no necesariamente pueden coincidir con lo presentado.

  4. ¿y que pasará si disponemos los enteros sobre un patrón tridimensional derivado de la espiral como una especie de concha de caracol? ¿y sobre algún conjunto fractal?

  5. ¿Con lo de "matemático de raza" quieren decir judío no?

    Es sabido que las finanzas y todo lo que tenga que ver con números se les dá bien a los judíos.

  6. Interesante articulo. No sabia nada de esta relacion matematica. Es curioso que el numero 2 se salga de cualquier diagonal, aunque tambien podria interpretarse como que pertenece a una diagonal formada por un solo numero. En cualquier caso, las aplicaciones a todo tipo de ciencias pueden ser muy tenidas en cuenta. Yo no tengo mucha idea de Matematicas, me gusta mas la Fisica, pero me doy cuenta de que la simetria es algo que aparece en muchas partes en la Naturaleza, y tambien en las Matematicas. Todo parece indicar que hay un patron oculto que se nos escapa…

  7. Muy interesante, pero ¿Por qué no empezó con el número cero (0)? ¿Por qué no empezó de izquierda a derecha (Como las manecillas del reloj)? Esto me hace pensar en las pirámides y en como fueron construídas… Hay muchas teorías, pero aún no se sabe a ciencia cierta como las construyeron…

  8. + 100000…

    Sin palabras. Ahora, me pregunto ¿Siguen teniendo los nuneros estas caracteristicas tan alucinantes en un sistema
    distinto al decimal?

    Cualquier relacion haria plantearse la naturaleza de la realidad a cualquiera.

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