La paradoja de los cuatro hijos

Supongamos que un matrimonio tiene cuatro hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean niñas y dos niños? Asumiendo que la mitad de los nacimientos son de varones y la mitad de mujeres, el sentido común nos impulsa a creer que, en un caso como este, la familia tendrá dos hijos y dos hijas. Pero puede demostrarse matemáticamente que tal cosa es bastante improbable.¡Bienvenidos a la paradoja de los cuatro hijos!

Nuestro cerebro tiende a jugarnos malas pasadas cuando asume resultados basándose en lo que la gente llama “sentido común”. Cuando enfrentamos los resultados obtenidos por este método intuitivo con los que arrojan los fríos (pero efectivos) cálculos matemáticos, vemos con sorpresa qué tan equivocados estábamos. Una de las paradojas que resulta más sencilla de demostrar es la que Martin Gardner -un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense- llama “paradoja de los cuatro hijos”.

Gardner dice que si sabemos (o nos cuentan) que un matrimonio tiene cuatro hijos, tendemos a pensar que existe una alta probabilidad de que dos de ellos serán niños y dos niñas. Sin embargo, y a pesar de que estadísticamente prácticamente la mitad exacta de los nacimientos son de varones y la mitad de mujeres, puede demostrarse matemáticamente que nuestra intuición falla miserablemente.

¿Cual es la probabilidad de que dos de ellos sean niñas y dos niños?

La forma de abordar este problema es realmente simple. Supongamos que representamos cada nacimiento de un niño con una “H” (hombre) y el de una niña con una “M” (mujer). Solamente tenemos que elaborar lo que se denomina una “tabla de verdad” en la que se representen todas las  diferentes posibilidades existentes a la hora de tener los cuatro hijos. En la tabla siguiente el orden de izquierda a derecha indica el orden de nacimiento:

1.  HHHH
2.  HHHM
3.  HHMH
4.  HHMM
5.  HMHH
6.  HMHM
7.  HMMH
8.  HMMM
9.  MHHH
10. MHHM
11. MHMH
12. MHMM
13. MMHH
14. MMHM
15. MMMH
16. MMMM

Dado que solo hay dos sexos posibles, la cantidad de combinaciones existente para cuatro nacimientos son las 16 que se ven en la tabla anterior. Recordemos que todo nuestro análisis es válido por que estamos considerando que la probabilidad de que sea niño es igual a la de que sea niña (50% cada uno). En el mundo real, dicha proporción no es exacta, pero se aproxima lo suficiente como para que los resultados que vamos a mostrar prácticamente no varíen.

Sólo el 37,5% de las familias con cuatro hijos tendrá dos de cada sexo.

El paso siguiente consiste en contar cada uno de los casos mostrados en la tabla. Vemos que, de los 16, solo hay dos casos en que el sexo de todos los hijos es el mismo (el 1 y el 16). Eso significa que tenemos una probabilidad de 2/16 (o 1/8, o el 12.5%) de que nuestros cuatro hijos tengan el mismo sexo. Si contamos los casos en que los nacimientos incluyen un vástago de un sexo y tres del otro, encontramos ocho casos (en las filas 2,3,5,8,9,12,14 y 15). Eso implica que en la mitad de los casos, un matrimonio que tenga 4 hijos tendrá o bien una niña y tres niños, o bien un niño y tres niñas.

Por ultimo, si contamos los casos que nos interesan, aquellos en que hay dos niños de cada sexo, vemos que solo los casos 4, 6, 7, 10, 11 y 13 cumplen con la condición “dos niños y dos niñas.” Esto demuestra que solo 6 de cada 16 veces ( o 3 de cada 8, si “simplificamos“) se da  la situación que nuestro sentido común decía era la más probable. Las matemáticas demuestran que sólo el 37,5% de las familias con cuatro hijos tendrá dos de cada sexo, y que -en realidad- es mucho más probable tener tres hijos de un sexo y uno del otro que cualquiera de las otras posibilidades por separado.

Este resultado nos desconcierta porque algo en nuestra mente nos hace relacionar el hecho de que la probabilidad de tener hijo o hija es del 50%, con la errónea conclusión de que lo más lógico es tener el mismo número de chicos que de chicas. Pero eso es válido únicamente si tenemos dos niños. Con cuatro -como hemos visto-  las posibilidades se reducen, demostrando que no siempre podemos fiarnos de nuestro sentido común. ¿Que te parece?

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Ariel Palazzesi

71 Comments

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  1. Y yo que estaba esperando algún calculo o teoría un poco extraña, y al final se resuelve con simple estadística (obvio desde que se ve la tabla :P).

    La estadística en realidad es algo maravilloso.

    • Hola!
      Fijate en el link a Wikipedia. Ahi lo resuelven de una forma más…. rigurosa, usando unas fórmulas que te dejan atontado de solo verlas 🙂
      La tablita que usamos aqui no es en realidad muy ortodoxa, pero sirve perfectamente para este caso.

      Y coincido contigo: La estadística en realidad es algo maravilloso. Nosotros hemos demostrado que de cada 100 personas que visitan Neoteo, 50 son la mitad (Les Luthiers, obvio!)

      Saludos!

    • en mi casa de cuatro hijos que tuvo mi madre fueron 3 varones y 1 hembra, por lo que estamos en el rango donde estadisticamente habría mas posibilidades de estar.

      • En mi casa nacieron 3 hombres y 1 una mujer pero mi hermano crecio y se volvio marica entonces somos 2 hombres y 2 mujeres XD como cambia la estadisitica, ademas si por ingeniera genetica antes de nacer se espec¡fica de que sexo quieren el hijo la estadisitica ya no serviria

  2. Por suerte el sentido común no tiene cabida en las matemáticas… inspirate en el si quieres, pero hasta que no hayas demostrado algo no puedes confiar en eso. Por cierto, eso es un esquema combinatorio, no una tabla de verdad (las tablas de la verdad solo se usan en lógica para probar la veracidad de una expresión)

    • yo tambien pense que la tabla de la verdad solo era la que se utilizaba en la logica, pero esta tb es una tabla de la verdad…. aunque tambien lo he escuchado como esquema combinatorio en mis clases de estadistica

    • Te apoyo… NO es una tabla de verdad. Las tablas de verdad llevan 0’s y 1’s (verdadero y falso) nada más. En este caso se confunde porque es hombre o mujer (coincidiendo con verdadero y falso, en el número de opciones), pero digamos que tenemos un dado y lo lanzamos cuatro veces, entonces lo que tendríamos sería una Combinación (también existen las Permutaciones) de 6x6x6x6=1296. Ya para finalizar, si se tabula esto nos damos cuenta que no es una tabla de verdad, pues como dije las tablas de verdad solo usan verdadero o falso, de allí su nombre.

      Espero haberme explicado XD

    • Insisto, esto NO es una tabla de la verdad, incluso NI SIQUIERA están analizando todas las posibilidades, hay una pequeña probabilidad de que salgan hermafroditas que se esta ignorando completamente por simplicidad. Ademas, las tablas de verdad son un esquema combinatorio booleano para explorar la veracidad de expresiones lógicas, aquí no hay expresiones lógicas de ningún tipo, simplemente se están explorando todas las combinaciones posibles de las cuatro variables de entrada.

  3. Estimados:
    Una tabla de verdad es una tabla que muestra todas las combinaciones de valores posibles, por lo que la aqui presentada es perfectamente una de ellas.
    Saludos.

  4. Tambien e mi familia somo 4 hijos, dos mujeres y dos hombres 🙂
    Igual espera una formula extraña o alguna teoria de algun cientifico "loco". pero bueno estouvo interesante,jeeje….

  5. En mi caso se cumple la estadística:
    Mi abuela tuvo 4 hijos: 3 chicos y una chica.
    Esa chica es mi madre, que ha tenido 3 chicas y un chico, que soy yo.
    Espero que eso no signifique que yo tendre 3 chicos y una chica :s

  6. mm pues es una parte de una tabla de verdad, porque aunque no se les dan valores a las posibilidades, se exponen todas las combinaciones, bueno seria mejor llamarla tabla de probabilidad o algo así, igual es muy interesante.

  7. Bueno tambien influye lagenetica y las condiciones dificiles por las que pasa la humanidad, es decir, se ha demostrado que cuato mas dificiles y duras son las condiciones de supervivencia del ser humano mas niñas nacen, seguramente para tener mas probabilidades de asegurar la supervivencia de la especie… no todo es matematico se ha demostrado que tdo lo malo que pasas queda registrado en tu cerebro y este modifica en vida a tus genes segun las condiciones del medio ambiente, adaptabilidad obviamente, el cerebro cambia tus genes mientras estas viviendo no solo cuanto te reproduces y creas una nueva vida…hay demasiadas variables y segun las condiciones de la epoca, escaces o abundancia, guerra o paz, las estadisticas y sus probabilidades tambien deberían cambiar…

  8. aquí no hay paradoja ninguna, lo que hay es una mala explicación o entendimiento de los hechos, el asunto está totalmente mal planteado o entendido.
    La tabla de verdad puesta de ese modo, poniendo los posibles 4 hijos, es para el caso de dejar embarazada a tu mujer y que vaya a tener los 4 hijos de golpe, o sea, estás poniendo todas las combinaciones posibles de tener 4 hijos, en ese caso el porcetaje dado si sería real.

    Para expresar mejor lo que digo diré que lo planteado es el mismo caso que tirar a la vez 4 monedas al aire y ver cuantas caras y cruces salen. Lo que pasa es que en la vida real los partos no funcionan así, primero hay un 50% de posibilidades de niño o niña para el primer hijo, y a continuación se pasa a formar el segundo, y vuelve a tener otro 50% de posibilidades,etc,etc. O sea, seria como tirar 4 veces una misma moneda y ver que probabilidades hay de que toquen cares y cruces.

    • En desacuerdo contigo, lo que se busca en la tabla es la probabilidad de obtener dos caras y dos cruces en cuatro lanzamientos manteniendo la probabilidad del 50% en cada lanzamiento.
      Lo cual viene a dar 6/16.

      La tabla para lo que tu planteas de que salgan los críos como chorizos en un solo parto está en la tabla de nuestro amigo "Baso" (Comentario #11).

  9. Yo les planteo otra teoría; dado que el enunciado del planteo no debería contemplar el orden de nacimiento de los críos, creo que los posibles casos se reducen solo a cinco:

    1. 4H + 0M
    2. 3H + 1M
    3. 2H + 2M
    4. 1H + 3M
    5. 0H + 4M

    Según la tabla anterior, la posibilidad de tener dos hijos del mismo sexo serian de 1 en 5, dicho de otra manera, 20% y no 37,5%.
    Saludos.

  10. Analizando un poco más y desde otro punto de vista, la circunstancia MÁS PROBABLE sigue siendo la de tener 2H y 2M con 37,5%, seguido por (1H y 3M) y (3M y 1H) ambos con 25% y por ultimo 4H y 4M con 6,25%. Así que si alguien te dice que tiene 4 hijos y tenés que adivinar que hijos tiene, la mejor opción sería 2h2m.

  11. ya lei todos los comentarios y la mayoria espero algo complicado……

    PERO ES X EL TITULO…. ESTO NO ES UNA PARADOJA… UNA ESTADISTICA NADA MAS

  12. En mi familia tambien somos 4 hijos (dos hombres, dos mujeres)^^ y Una hermana de mi papa (osease mi tia) tambien ^^..
    cHida Paradoja igual pensaba que era 50 y 50 xD

  13. Que buena tablita!! jaaja nunca me habia puesto a pensarlo de esa forma encarando por el lado de las probabilidades. Confiaba plenamente en mi sentido común más aun por el echo de que tengo 3 hermanos, 1 varon y 2 mujeres + yo (varon) = 2 y 2 😛

  14. Pues en mi familia somos 10 hermanos
    5 chicos y 5 chicas, independientemente de cual fueran las probabilidades
    y de las estadisticas.

  15. Desde mi punto de vista la tabla es correcta tomando en cuenta el tiempo (orden de nacimiento) por eso es que existen las 16 diferentes probabilidades; sin embargo si lo vemos del punto de vista de la estadística (en cuanto a las distintas combinaciones) se estarían repitiendo resultados.

  16. Bueno no se si se trata de algo estadistico, pero en mi pais tenemos una teoria un poco extraña para eso, resulta que si al momento de que la mujer queda embarazada el hombre tenia una edad par el niño es varon y si es impar sale hembra, los que tengan hijos verifiquen a ver que les da, recordando la edad que tenian cuando sus mujeres quedaron embarazadas

  17. Por si a alguien le interesa la forma rigurosa de resolver este tipo de problema se realiza mediante los llamados ensayos de Bernouilli. Se trata de experimentos aleatorios (ej: lanzar una moneda y ver de que cara cae) donde solo hay dos posibilidades (ej: cara o cruz), tengan o no la misma probabilidad cada una de las soluciones (ej: un ensayo de Bernouilli puede ser en una baraja sacar oros 1/4 o sacar otro palo 3/4), pero siempre se cumplira que la probabilidad del segundo evento es q=1-p, donde p es la probabilidad del primer evento (en nuestro ejemplo p=0.25 y q=0.75).
    A donde quiero llegar con esta introducción es a que, para la realización de N ensayos, la probabilidad de que en exactamente k de esos N se de la opción de probabilidad p es:

    P= N!/((N-k)!*k!) * p^k * q^(N-k)

    donde x! representa el factorial de x.

    Si particularizamos para nuestra "paradoja", tenemos que el experimento aleatorio es "tener un hijo", la probabilidad de que sea niño es p=0.5 y que sea niña q=0.5. Y lo que queremos saber es para N=4 nacimientos cual es la probabilidad de que exactamente k=2 sean niños. Sustituyendo en nuestra formula:

    P = 4!/(2!*2!) * 0.5^2 * 0.5^2 = 0.375 = 37.5%

    Como vemos los experimentos de Bernouilli tienen una gran utilidad, no solo para "calcular hijos", sino para muchas mas cosas mas útiles, como por ejemplo la probabilidad de que al transmitir una palabra de N bits por un cierto medio "k" o mas de ellos lleguen erróneamente y que por tanto no puedan ser recuperados por un cierto algoritmo de corrección de errores.

    Si os interesa el tema seguro que podéis encontrar por la red cantidad de información

  18. Como ya dijeron son probabilidades y no estadísticas por lo tanto no es nada absoluto, pero aun así me atrevería a decir que es erróneo. El ejemplo de sentido común, te informa que ay un 50% de chance de que sea varón y un 50% de chance de que sea chica, pero esto es por nacimiento no por cuartetos, en ese caso no habría forma de saber cuál es la probabilidad ya que ay muchos factores y unos bastante importante, es un factor de variedad, el cual no se puede determinar, en si es prácticamente imposible saber si 2 serán ellas y 2 ellos.

  19. Aha, mirá vos…muy buena la tablita algebraica para representar los casos lógicos y sacar la probabilidad exacta. De todas formas, nadie se puso a pensar en la Superpoblación…?
    Más vale quédense con el %50 y %50 de posibilidades…y tengan un/a solo/a hijo/a, o de última 2…
    Debería estar prohibido procrear más de eso a estas alturas…

  20. Esto me pone como loca!!!yo buscando la nena tuve mi cuarto varon hace un año,no me animo a seguir intentando,creo q hay muy muy grandes probabilidades de otro varón…amo a mis hijos,pero bno entiendanme por favor…creo q todos en mayor o menor medida buscamos nenas y nenes,o no???

  21. Mal hecho el calculo, en este caso el orden en que se tengan los hijos no importa, pues es lo mismo tener 2 niños y 2 niñas (HHMM) que tener 2 niñas y 2 niños (MMHH).
    Así que las combinaciones se reducen a: HHHH, HHHM, HHMM, HMMM y MMMM, la probabilidad entonces de que los hijos sean 2 hombres y 2 mujeres es de 1/5, es decir, del 20%

    • Tu razonamiento no es correcto. Estás pasando por alto el hecho de que no tienes el mismo número de combinaciones posibles para cada grupo que has definido.
      Tienes un total de 1,4,6,4,1 combinaciones posibles para cada grupo, asignándolas en el mismo orden que lo has hecho tu.
      Divide el número de combinaciones de cada grupo entre el total de combinaciones posibles (1+4+6+4+1=16) y verás que los resultados del artículo son correctos.

  22. Estimo lo que se deduce de la paradoja, por ello es paradoja, parece correcto pero no lo es.

    La probabilidad de que salgan 3 de un mismo sexo sobre 4 hijos (independientemente del sexo) es de.

    4/4 – 3/4 = 1 – 3/4 = 1/4 = 0.25%

    Para el caso de dos varones y dos nenas, tal como dice la intuición las prob son del 50%

    4/4 – 2/4 = 1 – 2/4 = 2/4 = 1/2 = 0.50%

    Contar según las combinaciones es paradójico, porque esta confundiendo las probabilidades de un orden determinado con las probabilidades totales.

    Saludos. Diego L. Tentor

  23. De acuerdo con eldeibe, aqui no hay paradoja ninguna, solo un tipo que quiso hacerse famoso planteando un problema confuso para muchos.

    Como vos decis las posibilidades se reinician cada vez que vas a tener un nuevo hijo, y tus posibilidades son nuevamente 50% para cada sexo. Vos no tenes 4 hijos de a golpe, o por lo menos no es el caso que se plantea en la “paradoja”.

    Si tomamos cada columna de la tabla de probabilidades como el orden en que van naciendo nuestros hijos, es facil ver que las probabilidades en cada columna son siempre 50% para cada sexo.

    Lo que hay que leer por favor, gente que no estudio ni logica, ni matematica, ni mucho menos probabilidades, y este divulgador Martin Gardner espero que en filosofia haya hecho un trabajo mejor, porque de analisis probabilisticos sabe lo mismo que la mayoria de ustedes.

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