Imagina que tienes una anillo que entra justo en tu dedo, al que cortas y agregas un metro de material. Es fácil imaginar que si vuelves a ponerlo en tu mano, el anillo te quedará muy grande, ya que su nuevo diámetro es a todas luces mucho mayor. Ahora, imagina una banda elástica que se ajuste perfectamente a la Tierra, rodeándola por el ecuador, a la que estiras su perímetro en un metro. La banda ahora será ligeramente más grande que la original, pero ¿cuanto se separa de la superficie del planeta? La respuesta, como siempre, desafía el sentido común.
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Si bien la paradoja de la banda elástica no es considerada una paradoja en el sentido estricto, lo cierto es que choca con nuestro sentido común, debido a que tiene una solución que parece imposible. El planteo del problema es el siguiente: imaginemos que una esfera del tamaño del planeta Tierra está rodeada por una banda elástica que la ajusta perfectamente por su ecuador. Dicha banda mide aproximadamente 40.000.000 de metros de largo. Si la banda se estira un metro, hasta medir 40.000.001 metros de largo ¿Cuanto se separa de la superficie de la esfera? ¿Podremos deslizar entre la banda y la esfera una hoja de papel, una moneda o una pelota de tenis?
Antes de comenzar a efectuar cálculos e intentar determinar de cuánto es la separación de la banda, usemos el sentido común para resolver una situación similar, pero a una escala mucho menor. Imaginemos, como decíamos al principio, que tenemos un anillo que se ajusta perfectamente a uno de nuestros dedos. El radio de nuestro dedo -supongamos- es de 1 centímetro, y la circunferencia del anillo es de aproximadamente 6,28 centímetros (2 x PI x radio). Si a dicho anillo le hiciésemos un corte y agregásemos un metro de material, al armarlo nuevamente veríamos que su circunferencia ahora es mucho mayor, y se ha convertido prácticamente en un aro de hula-hula por el que -si no estamos tan pesados como Max- pasa nuestro cuerpo entero. Al ponerlo nuevamente en un dedo, veríamos que hay una separación entre éste y el nuevo anillo de unos 16 centímetros.
La paradoja de la banda elástica no es considerada una paradoja en sentido estricto.
El experimento anterior parece tener bastante sentido. Al fin y al cabo, hemos convertido un anillo con un perímetro de 6.28 centímetros en uno de más de 106 cm, por lo que no nos asombra que se haya separado tanto de nuestro dedo. La distancia que lo separa del centro del dedo puede calcularse haciendo R = circunferencia / 2 / PI, y nos da unos 16 centímetros. Este es uno de esos casos -tan tranquilizantes- en que el sentido común y la realidad van de la mano. Ahora, veamos que pasa con el anillo elástico.
El anillo que rodea la esfera tiene una longitud (o perímetro) de 40 millones de metros. Su radio, de acuerdo a la formula anterior, será de 40.000.000 / 2 / PI = 6.366.197,83 de metros, unos 6.366 kilómetros. El sentido común nos dice -más bien nos grita- que si a semejante perímetro lo estiramos el mismo metro que agregamos al anillo del otro ejemplo, la distancia que lo separará de la enorme esfera será imperceptible. Posiblemente, la razón de ello sea que el porcentaje de incremento en el primer caso es cercano al 1600%, mientras que en este caso es de algo así como el 0,000000025%. Con un incremento tan pequeño, difícilmente podamos deslizar una hoja de papel entre la esfera y la banda elástica. ¿O no?
El resultado es independiente del radio de la esfera o del dedo. ¿Que te parece?
Pero estamos -nuevamente- frente a uno de esos casos en que el sentido común nos juega una mala pasada. Hagamos cuentas: el radio del círculo que forma la banda elástica estirada puede calcularse haciendo R = 40.000.0001 /2 / PI = 6.366.197,99 metros. El resultado se parece mucho al del radio de la banda sin estirar (6.366.197,83). Pero, si miramos bien, vemos que ese metro que hemos agregado basta para separar la banda de la esfera en 6.366.197,83 - 6.366.197,99 = 0,16 metros. ¡Los mismos 16 centímetros que en el caso del dedo y el anillo! El sentido común acaba de sucumbir -otra vez- frente a la realidad.
Como puede verse, el resultado es independiente del radio de la esfera o del dedo. Solo depende del pedazo que agreguemos y del valor de PI. Como hemos agregado un metro al anillo y estirado en un metro a la banda elástica, ambos se separan de la superficie original en los mismos 16 centímetros. Volviendo a la pregunta original, podríamos deslizar sin problemas una pelota de tenis entre la banda estirada y la esfera. Hemos sacado las cuentas utilizando nada más que un par de decimales, pero eso no cambia el resultado demasiado. El valor real ronda los 15,9154943... centímetros. Independientemente de la cantidad de decimales que tengas en cuenta, el resultado será el mismo en ambos casos. ¿Que te parece? -
¿Y tú, qué opinas?
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#1ftejadaq sábado, 10 de octubre de 2009, 15:43
DESCOJONANTEMENTE DESCOJONANTE 0.o
Muy bueno el artículo, no es una paradoje pero cuesta bastante creerlo -
#2Lucia sábado, 10 de octubre de 2009, 16:57
Si, no es una paradoja, para nada, pero, ellos mismos lo aclaran:
"La paradoja de la banda elástica no es considerada una paradoja en sentido estricto." -
#3krrish32 sábado, 10 de octubre de 2009, 17:42
poco interesante esto lo vi en segundo años del secundario como la gran curiosidad para demostrar la independencia del radio
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#5marshall_260 sábado, 10 de octubre de 2009, 18:14
#4Hola Martin!
Efectivamente, PI = 3.14159265357......
¿Por que dices que te confundimos?
Saludos! -
#6andres_net_de sábado, 10 de octubre de 2009, 19:16
Bueno pues esta interesante, pero, no esta tan lejos del sentido común, sabiendo que cualquier longitud de circunferencia dividida entre su radio siempre dará PI=3.141592654.... es decir, es solo una relacion mas que se cumple en estas figuras! ... pero claro, esto sigue siendo curioso de todos modos ... =) buen articulo
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#7
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#8imported_jukinch sábado, 10 de octubre de 2009, 20:00
Hace poco mas d eun Año lo vi xD, es impresionante
Este video ayuda a comprenderlo mejor
http://www.youtube.com/watch?v=J3lfBwUlNpg -
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#16DSarkissian domingo, 11 de octubre de 2009, 03:57
#14Esta es una simple curiosidad matemática, no hace falta ser un genio para entenderla. Y si no la entiendes tampoco es que no puedas vivir una vida como cualquier mortal.
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#17juan03 domingo, 11 de octubre de 2009, 04:12
Esos que dicen que ni se sorprenden con el tema es porque ni lo llegaron a entender.
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#18Rupert domingo, 11 de octubre de 2009, 10:49
#16Exactamente.. es para que uno piense un ratito y quizás hasta ezboce una sonrisa por el hecho. Algo como para entretener. Pero bueno como en todo... se ve que hay gente que no tiene mucha gracia.
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