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Paradoja de la banda elástica

Imagina que tienes un anillo que entra justo en tu dedo, al que cortas y agregas un metro de material. Es fácil imaginar que si vuelves a ponerlo en tu mano, el anillo te quedará muy grande, ya que su nuevo diámetro es a todas luces mucho mayor. Ahora, imagina una banda elástica que se ajuste perfectamente a la Tierra, rodeándola por el ecuador, a la que estiras su perímetro en un metro. La banda ahora será ligeramente más grande que la original, pero ¿cuanto se separa de la superficie del planeta? La respuesta, como siempre, desafía el sentido común.

Si bien la paradoja de la banda elástica no es considerada una paradoja en el sentido estricto, lo cierto es que choca con nuestro sentido común, debido a que tiene una solución que parece imposible. El planteo del problema es el siguiente: imaginemos que una esfera del tamaño del planeta Tierra está rodeada por una banda elástica que la ajusta perfectamente por su ecuador.

Dicha banda mide aproximadamente 40.000.000 de metros de largo. Si la banda se estira un metro, hasta medir 40.000.001 metros de largo ¿Cuanto se separa de la superficie de la esfera? ¿Podremos deslizar entre la banda y la esfera una hoja de papel, una moneda o una pelota de tenis?

La paradoja de la banda elástica no es considerada una paradoja en sentido estricto.

Antes de comenzar a efectuar cálculos e intentar determinar de cuánto es la separación de la banda, usemos el sentido común para resolver una situación similar, pero a una escala mucho menor. Imaginemos, como decíamos al principio, que tenemos un anillo que se ajusta perfectamente a uno de nuestros dedos.

El radio de nuestro dedo -supongamos- es de 1 centímetro, y la circunferencia del anillo es de aproximadamente 6,28 centímetros (2 x PI x radio). Si a dicho anillo le hiciésemos un corte y agregásemos un metro de material, al armarlo nuevamente veríamos que su circunferencia ahora es mucho mayor, y se ha convertido prácticamente en un aro de hula-hula por el que pasa nuestro cuerpo entero. Al ponerlo nuevamente en un dedo, veríamos que hay una separación entre éste y el nuevo anillo de unos 16 centímetros.

El experimento anterior parece tener bastante sentido. Al fin y al cabo, hemos convertido un anillo con un perímetro de 6.28 centímetros en uno de más de 106 cm, por lo que no nos asombra que se haya separado tanto de nuestro dedo. La distancia que lo separa del centro del dedo puede calcularse haciendo R = circunferencia / 2 / PI, y nos da unos 16 centímetros. Este es uno de esos casos -tan tranquilizantes- en que el sentido común y la realidad van de la mano. Ahora, veamos qué pasa con el anillo elástico.

El anillo que rodea la esfera tiene una longitud (o perímetro) de 40 millones de metros. Su radio, de acuerdo a la formula anterior, será de 40.000.000 / 2 / PI = 6.366.197,83 de metros, unos 6.366 kilómetros. El sentido común nos dice –más bien nos grita– que si a semejante perímetro lo estiramos el mismo metro que agregamos al anillo del otro ejemplo, la distancia que lo separará de la enorme esfera será imperceptible.

Posiblemente, la razón de ello sea que el porcentaje de incremento en el primer caso es cercano al 1600%, mientras que en este caso es de algo así como el 0,000000025%. Con un incremento tan pequeño, difícilmente podamos deslizar una hoja de papel entre la esfera y la banda elástica. ¿O no?

El resultado es independiente del radio de la esfera o del dedo. ¿Que te parece?

Pero estamos –nuevamente– frente a uno de esos casos en que el sentido común nos juega una mala pasada. Hagamos cuentas: el radio del círculo que forma la banda elástica estirada puede calcularse haciendo R = 40.000.0001 /2 / PI = 6.366.197,99 metros. El resultado se parece mucho al del radio de la banda sin estirar (6.366.197,83). Pero, si miramos bien, vemos que ese metro que hemos agregado basta para separar la banda de la esfera en  6.366.197,83 –  6.366.197,99 = 0,16 metros. ¡Los mismos 16 centímetros que en el caso del dedo y el anillo! El sentido común acaba de sucumbir –otra vez– frente a la realidad.

Como puede verse, el resultado es independiente del radio de la esfera o del dedo. Solo depende del pedazo que agreguemos y del valor de PI. Como hemos agregado un metro al anillo y estirado en un metro a la banda elástica, ambos se separan de la superficie original en los mismos 16 centímetros.

Volviendo a la pregunta original, podríamos deslizar sin problemas una pelota de tenis entre la banda estirada y la esfera. Hemos sacado las cuentas utilizando nada más que un par de decimales, pero eso no cambia el resultado demasiado. El valor real ronda los 15,9154943… centímetros. Independientemente de la cantidad de decimales que tengas en cuenta, el resultado será el mismo en ambos casos. ¿Que te parece?

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Escrito por Ariel Palazzesi

Comentarios

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  1. Si, no es una paradoja, para nada, pero, ellos mismos lo aclaran:

    "La paradoja de la banda elástica no es considerada una paradoja en sentido estricto."

  2. Esta recuerdo que me la contó mi padre hace algunos años a mí y a mi tío, a ver quien caía.

    Como la contó me gustó, porque quedaba más conversacional. En su versión el decía que considerando la tierra una esfera perfecta, y poniendo una cuerda pegada a la superficie por su circunferencia (en una esfera perfecta todo circulo máximo es un ecuador) y al añadir un metro de cuerda y separar toda la longitud resultante de forma uniforme, si un gato cabría por debajo del espacio resultante.

    El sentido común, de primera instancia, te dice que "no". Incluso sabiendo de geometría. El punto es precisamente, como los ejercicios de probabilística (como el de las puertas de monty hall o el de los cumpleaños en la fiesta), que el sentido común salta primero y tienes que controlarlo.

    La gracia es que, sabiendo que tenía truco, al final deduje la solución real pero mi tío, ingeniero civil e industrial que en su tiempo había construido naves de guerra, no podía aceptarlo. Decía que se nos iban los ceros por algún sitio.

  3. El sentido común nos dice que la cuerda se separará una distancia insignificante y, efectivamente, 0.16 respecto a 40 millones es insignificante.
    El problema es el punto de vista. Al ponernos junto a la cuerda vemos la diferencia de 16 cm pero no vemos la distancia al centro de la circunferencia. Si nos situáramos en el centro esos 16 cm nos parecerían despreciables.

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