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La paradoja del cumpleaños


Imagina que te encuentras en una fiesta, rodeado de una o dos docenas de amigos. ¿Cual es la probabilidad de que un par de ellos cumpla años el mismo día? Aunque parezca increíble, es posible demostrar matemáticamente que si el numero de invitados es de 23 personas, la probabilidad supera el 50%. Y si en tu fiesta hay más de 60 invitados, puedes apostar que dos de ellas cumplen años el mismo día con el 99% de posibilidades de ganar. Bienvenidos a la paradoja del cumpleaños

Nuevamente estamos ante una de esas contradicciones lógicas, que si bien desde el punto de vista estrictamente matemático no merecen el nombre de “paradoja”, contradicen lo suficiente el sentido común como para que mucha gente las considere como tales. En este caso, además de dejarte pensando un rato sobre algo que seguramente no te habías planteado nunca, conocerás un nuevo truco para convertirte (o no) en el tío más guay de la fiesta.

Hay una buena probabilidad de que al menos dos de ellos cumplan años el mismo día.

La (mal) llamada Paradoja del cumpleaños establece que si en una reunión se encuentran 23 personas, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es del 50,7%. El porcentaje parece, a primera vista, demasiado elevado. Uno tiende a razonar de la siguiente manera: “A ver. El año tiene unos 365 días, y si aquí dentro hay solo 23 personas, pues la probabilidad de que dos de nosotros hayamos nacido el mismo día debe ser de 23/365*100 = 6,3%” ¡Error!

¿En qué nos equivocamos cuando razonamos de esa forma? En que en realidad estamos calculando cual es la probabilidad de que alguno de los presentes cumpla años un día en particular, algo que nada tiene que ver con el problema. Para calcular realmente la probabilidad de dos personas del grupo cumplan años el mismo día hay que considerar parejas y no personas sueltas. Veamos cómo es la forma correcta de hacerlo.

Cálculo de la probabilidad

La clave para entender problema es concentrarse en el cálculo de la probabilidad que tiene una pareja de cumplir años el mismo día, sin importar cuáles sean los integrantes de la pareja ni el día en particular. Supongamos que en nuestra fiesta se encuentran 23 personas. Se pueden formar 23 x 22 / 2 = 253 parejas diferentes entre ellas. Si no te has dado cuenta por qué calculamos ese número multiplicando 23 por 22, puedes pensar que para el primer integrante de la pareja hay 23 candidatos posibles, mientras que para el segundo, solo hay 22, pues uno de ellos ya forma parte de la misma.

Ahora sí, calculemos la probabilidad aproximada de que en una habitación de n personas,  al menos dos cumplan años el mismo día, desechando los años bisiestos y asumiendo que cualquiera de los días del año tiene la misma tasa de nacimientos que el otro. Comenzamos calculando primero la probabilidad de que “n” cumpleaños sean diferentes. Esta probabilidad es dada por la siguiente ecuación:

La ecuaciónLo que representan esa serie de fracciones es el hecho de que la segunda persona no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera persona no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), y así sucesivamente. Podemos simplificar mucho esa fórmula si utilizamos los llamados “números factoriales”. El “factorial” de un numero (“n!”) se obtiene multiplicando entre sí a ese número y todos los enteros menores a él. El factorial de 5, por ejemplo, se calcula haciendo 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Si utilizamos números factoriales, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

En la que “p” es la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día. Para encontrar el resultado que estamos buscando -la probabilidad que al menos dos personas tengan el mismo día de cumpleaños- debemos hacer 1-p. Si la ecuación es lo suficientemente complicada como para que no de te den siquiera ganas de intentar resolverla, no te preocupes: lo hemos hecho por ti. Para n = 23 se obtiene un valor de 0,507, o lo que es lo mismo, una probabilidad de alrededor de 50,7%.

O sea, la próxima vez que vayas a una fiesta en la que hayan otros 20 o 30 invitados puedes intentar averiguar si dos de ellos cumplen años el mismo día. Si son más de 50, hasta puedes tomar el micrófono y lanzar una apuesta sobre ello, con una gran probabilidad de ganar y volver a casa con la chica más bonita de la fiesta. Y si falla, puedes entretenerte calculando las posibilidades que había de que una catástrofe así ocurriese. ¿Te animas?

La paradoja de los cuatro hijos

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Escrito por Ariel Palazzesi

Comentarios

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  1. Ojo, estamos hablando del mismo día o de el mismo día. Que no es lo mismo, pues tenemos el mismo día (número) o el mismo día (número concreto en un mes concreto).

    Aunque no deja de ser curioso, sería una propabilidad a cara o cruz. Otra cosa es que hablemos que sea la segunda opción…

    • No se si soy demasiado tonto y no lo entiendo o mi logica me falla, supongo que puede variar de interpretaciones a la hora de resolverlo.

      Desde mi punto de vista, un año tiene 365 dias, pues es como si tuvieras una bolsa con 365 bolas, y sacases 23 bolas, de una en una volvieindola a meter dentro, y segun "ESTA LOGICA" de cada 100 veces que lo experimentases, en 50 ocasiones saldrian por lo menos 2 bolas repetidas. IMPOSIBLE.

      Es muy facil de demostrar, hazte un programita que aleatoriamente te saque numeros entre 1 y 365 y que lo repita 23 veces a ver que sucede.

      • Ehm, creo que eso sería la posibilidad de sacar dos bolas iguales de una bolsa con 365 bolas. Y si hay una bola para cada día, como es que sacás 2 bolas iguales. Claro que sería imposible. La ecuación no la entendí mucho, pero a simple vista uno se da cuenta que tu analogía… uhm, como que no es buena.
        Y lo del programita pues… a mi me suena que es sólo un programa que saca SOLO 1 NUMERO y lo repite 23 veces (?)

      • Hola!
        Estas en un error. El mismo que se explica en el articulo: ".. estamos calculando cual es la probabilidad de que alguno de los presentes cumpla años un día en particular…" y no lo que queremos calcular. En tu ejemplo de la bolsa con bolitas, deberias sacar 23×22 bolitas de una bolsa con millones de bolitas numeradas del 1 al 365, y ver si dos tienen el mismo numero.

    • lo acabo de comprobar y la paradoja es cierta, de 165 contactos que tengo en el Facebook, hay 21 parejas que cumplen año el mismo día, incluso hay un día en el que cumplen tres personas, así que como dirían Adam y Jamie: EL MITO ES CIERTO

  2. Se refiere a la posibilidad de que cumplan años el mismo día del mismo mes (por eso las operaciones se calculan sobre 365).

    Muy interesante, y al igual que con la de la goma elástica y la del barco me he quedado a cuadros…

  3. Con 23 personas 50.7 % de probabilidades de volver a casa con la chica más linda de la fiesta (estrictamente hablando, con una chica, que sea justo la más linda sería una verdadera paradoja), pero guarda porque el porcentaje de catástrofe es del 49.3 % (1-0.507). Osea, redondeando, 50 % de posibilidades de irme acompañado contra otro 50 % de posiblidades de quedar como el ebrio del festejo que se subió al escenario para hablar de probabilidades!!

    En una de esas si son más de 100 personas me animo!! jajajaja

  4. En este problema lo que se hace es:

    Probabilidad de 2 personas cumpleaños= 1-(probabilidad ninguno coincide/ todas las posibles)

    Queda asi P(B)=1-(Variaciones 365 elementos tomados de n (n numero de personas)/ Variaciones con repetecion de 365 tomados de n)

    1-V365,n/VR365,n

    Saludos

  5. Este artículo me recordó "la ley de los grandes numeros", ese calculo tan espectacular pero incomprandeido al mismo tiempo

    Las probabilidades de que se cree vida "por si misma" en nuestro planeta tierra, son tan pequeñas que lo damos por descartado casi inmediatamente, pero al ver la enorme cantidad de universos y planetas que existen, todas esas pequeñas posibilidades de exito se van sumando y sumando, hasta que en un momento dado "lo imposible" se hace una "realidad"

    • 23 personas = 50%
      60 personas = 99%

      tengan cuidado!!!
      Eso nos ASEGURA que incluso habiendo 60 personas, en 1 de cada 100 fiestas de cumpleaños a la que vayas, VAS A PERDER LA APUESTA y como ya dijeron en otro post mas atras:

      "quedarás como el ebrio que se subió al escenario y se puso a hablar de probabilidades"
      jajaja xD

  6. el como el comercial de NATGEO… "compartes tu cumpleaños con 17 millones de personas" si en la tierra existen mas de 6 mil millones de habitantes, todos nacen en dias del año, si divides esa cantidad entre los 365 dias, da ese resultado mas o menos, las probabilidades son bien amplias, yo mismo tengo varios amigos que cumplen en la misma fecha que yo!

  7. Las probabilidades aumentarian mucho si las 23 madres fueran conocidas de edad similar que hubiesen tenido hijos en fechas similares….

    Fuera de esto, yo conoci a una joven que tenia igual fecha de cumpleaños que la mia 26/12/1988 sin embargo en la hora de nacimiento la diferencia era de casi 14 horas (yo era mas joven XD)

  8. en el colegio donde trabajo tengo 37 alumnos por aula, voy a revisar esta semana las fechas de nacimiento por sección para ver si se da la paradoja aquí expuesta (es muy probable que si, porque solo en mi edificio donde hay 30 apartamentos (ni idea de cuantos habitantes en total, pero mas o menos unas 4 personas en cada uno, habemos 3 que cumplimos el 7 de agosto, 2 el 8 y 2 mas el 9)

  9. jaja si te lo pones a pensar bien le encuentras mucha logica; sin embargo, el 100% siempre sera cuando haya 366 personas ( desechando años bisiestos =)

  10. hoy acabo de ir a una fiesta de cumplea con mas de 40 personas,
    el chavalin cumplia 1.
    pregunte a todos los de la fiesta su fecha de cumple y ninguno cumplia el mismo dia…

    como dato curioso, tengo 3 o 4 amigos que cumplen el mismo dia que yo, asi que si los invito, posiblemente se cumpla la paradoja del cumple…

    Pero probablemente ellos no vayan a mi fiesta porque tambien estarian festejando es sus casas..

    • no se trata que cumplan años el mismo dia que tu sino que habra dos personas que cumplan el msimo dia.. no tiene porque ser el mismo dia que tu
      tal vez dos de ellos lo hagan el mismo día (en mi tuenti que son unos 70, hay 2 que cumplen el mismo dia)

  11. "hasta puedes tomar el micrófono y lanzar una apuesta sobre ello, con una gran probabilidad de ganar y volver a casa con la chica más bonita de la fiesta."

  12. Algo falla en el planteamiento…
    Ese 50% me parece imposible solo con 23 personas… y yo soy de los empíricos, si no me lo demuestras, no me lo creo…
    (Lo paradójico de las paradojas es que siempre se cumplen aunque sean imposibles… siempre establecen posibilidades/porcentajes de que una cosa ocurra o no…)

    Sírvase el ejemplo ya mencionado, tengo casi 100 amigos en el Facebook, y 50 en el Hi5 y los únicos que repetimos cumpleaños, soy yo y una amiga ex-compañera de curro que la conozco hace muchísimo tiempo… por ese motivo ya se cumpliría la paradoja… en el caso de que no haya nadie tambien se cumple la paradoja, 50% de posibilidades de que no haya nadie de que cumpla el mismo día…

  13. Hola a todos!,

    Esta es la primera vez que escribo un comentario en neoteo. Me recomendaron la página hace unos meses y no puedo dejar de visitarla diario ^_^.

    Este artículo me ha llamado mucho la atención no sólo por lo interesante de la paradoja, sino porque mi área preferida en la informática es la seguridad en redes y criptografía. Y en esta área este tema es de gran importancia porque los ataques de fuerza bruta para encontrar una clave trabajan bajo este principio, lo que debería ser una prueba más de que aunque parezca "improbable" el dato de las 23 personas no deberíamos mostrarnos incrédulos XD.

    Gran nota! y echen una googleada buscando: criptografía cumpleaños para encontrar la cantidad de sitios que hablan del tema visto desde el punto de la seguridad informática 🙂

  14. Hay un error 23 X 22 no son 253 sino 506, en realidad es 23x(22/2)=253.

    Y la explicación ni mucho menos es tan simple como la pretendéis dar aquí, solo hay que buscar un poco y veréis que no es tan simple y que el articulo de la wikipedia en español esta muy incompleto mejor miradlo en al de ingles.

    P.D: no hay que olvidar que hablamos de probabilidad que no de certeza así que puede que vayas a 100 fiestas y en ninguna haya dos personas que cumplan el mismo día o viceversa, que sea probable no quiere decir que se de sino que se puede dar con mas o menos frecuencia…

    • Arreglado!
      Tal como dice en la Wikipedia, en español y en ingles, "Específicamente, entre 23 personas, hay 23×22/2 = 253 pares, cada uno de ellos un candidato potencial para cumplir la paradoja."

      Nos habiamos olvidado del "/2" en la fórmula.

      Gracias!

  15. jjajaja wenisimo el articulo!!

    Solo una equivocacio. la cantidad de parejas posibles con 23 personas no es de 253 sino mas bien, 506. 23 X 22 = 506
    aunque no es importante debido a que no afecta al calculo probabilistico.

    muy buen tema

  16. Bien, elijan 23 de los contactos que tienen en facebook y me cuentan.
    bueno, no ganaron no?, elijan 60 y me cuentan!
    …y 120? parece que el "enfoque probabilistico" de este caso no es el correcto, desde "un" punto de vista especifico "funciona" pero en la realidad NO. la realidad se adapta al enfoque al que le decimos "sentido comun"
    por eso toma 1/365 personas y esa será la probabilidad por persona.

  17. *******************************************************************

    Bien, elijan 23 de los contactos que tienen en facebook y me cuentan.
    bueno, no ganaron no?, elijan 60 y me cuentan!
    …y 120? parece que el "enfoque probabilistico" de este caso no es el correcto, desde "un" punto de vista especifico "funciona" pero en la realidad NO. la realidad se adapta al enfoque al que le decimos "sentido comun"
    por eso toma 1/365 personas y esa será la probabilidad por persona.
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    Bien, elijan 23 de los contactos que tienen en facebook y me cuentan.
    bueno, no ganaron no?, elijan 60 y me cuentan!
    …y 120? parece que el "enfoque probabilistico" de este caso no es el correcto, desde "un" punto de vista especifico "funciona" pero en la realidad NO. la realidad se adapta al enfoque al que le decimos "sentido comun"
    por eso toma 1/365 personas y esa será la probabilidad por persona.
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  19. Alguien puede ayudarme a calcular las probabilidades de cumplir el mismo dia, del mismo mes y mismo año por ejemplo el 07/07/07 que por cierto este año sera el ultimo para que alguien pueda hacerlo ya que despues del 12/12/12 habra que esperar 89 años para que alguien lo cumpla de nuevo, saludos

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