El Hotel Infinito de Hilbert

¿Qué es el infinito? ¿Es infinito el número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo?  David Hilbert, un gran matemático alemán, explicaba el concepto de infinito utilizando como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones, al que llegaban diferentes cantidades de pasajeros. Un hotel semejante, ¿podría tener todas sus habitaciones ocupadas? Bienvenidos al Gran Hotel de Hilbert.

El gran matemático alemán David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Se lo reconoce mundialmente como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX, y ha contribuido a esa ciencia desarrollando conceptos como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hizo aportes significativos a la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general, e incluso algunos historiadores sostienen que descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein, aunque esto nunca ha sido probado. En 1900 presentó un conjunto de 23 problemas matemáticos que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Parte de su trabajo se relacionó con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, explicando algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo.

Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4… y así hasta el infinito. Lo primero que tenemos que recordar es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, podemos intentar comprender las paradojas que plantea el Gran Hotel de Hilbert.

¿Son infinitas las partículas que componen el universo?

Infinito + 1
Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.

Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?

Hotel infinito, pasajeros infinitos
Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso?

Departamento de matemáticas en Göttingen, donde Hilbert trabajaba en 1930.

Hotel infinito y pasajeros infinitos en autobuses infinitos
Así planteado, parecería que el hotel no puede llenarse nunca. Imaginemos por un momento que al Gran Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El problema exigió que la inteligente recepcionista demorase un par de segundos en encontrar una solución. Se acomodó las gafas, se arrimó al intercomunicador, y le pidió a todos los pasajeros que se encontraban en una habitación cuyo número fuese primo (números solo divisibles por si mismos o por la unidad), o alguna potencia de estos, que calculasen el resultado de elevar el número 2 a la potencia correspondiente al número de la habitación en la que se encontraban y se cambiasen a esa habitación. Esto provocó algún que otro revuelo entre los pasajeros, pero finalmente todos los implicados en el cambio llegaron a su nueva habitación.

Hecho esto, la recepcionista sonrío con aires de suficiencia y asignó a cada uno de los autobuses un número primo (distinto de 1), y a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar. Hizo que cada uno de los nuevos pasajeros calculasen el numero de habitación que le correspondía elevando el número primo correspondiente a su autobús al número impar que le tocó. Dado que existe una cantidad infinito de números primos, y un número infinito de números impares, se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones.

Números transfinitos
El relato anterior podría inducir a pensar que no puede haber un infinito mayor que otro. Pero no es así. Georg Cantor (1845-1918), otro matemático alemán, descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño o -matemáticamente hablando- no tienen el mismo cardinal.  Por ejemplo, el conjunto de los racionales es numerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es. Existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, incluso los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real. Estos infinitos componen la “terrible dinastía” -como la denominó el escritor argentino Jorge Luis Borges– de los números transfinitos. Cantor designo estos “infinitos grados de infinitud” con la letra hebrea álef (de allí el título del famoso cuento de Borges) y los correspondientes subíndices. Álef subcero (o álef-0) es el simple infinito de los números naturales, que Hilbert utilizó como base para las paradojas de su Gran Hotel. Álef-1 es el infinito de los números reales, que incluyen a los irracionales y los trascendentes, como pi, y no son numerables. Existen infinitos “Álef”, y constituyen un concepto cuya comprensión suele demandar unas cuantas horas de meditación por parte de los simples mortales.

David Hilbert falleció el 14 de febrero de 1943 en Göttingen, Alemania, y dicen que su espíritu suele aparecerse por las noches en alguna de las infinitas habitaciones de su Gran Hotel.

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  • fire

    increible historia me gusto el final "…dicen que su espíritu suele aparecerse por las noches en alguna de las habitaciones de su Gran Hotel."

    Cerebro el de este señor algo muy dificil de comprender lo de los infinitos pero asi son las matematicas y las mujeres XD buenisima nota

  • rembrandt

    Ufff…. ya me duele la cabeza
    Para mi ese señor solo fue otro desparchado mas sin PlayStation

    • dsgds

      El no tendría PlayStation pero tenía cerebro. Y por tu comentario creo que tú viceversa

  • designjs

    Hay gente que le gusta enredarse la vida……que desayunaron esa mañana que empezaron a pensar eso…….¿le pagan por eso?…………….esa secretaria suena a un monton de empleados de la vida real que debemos trabajar con las uñas y resolver grandes enigmas en cuestion de minutos…..ahora despues de entender lo de los infinitos (lo dudo)………que $&#"&&/ me sirve eso en el condominio que administro de 242 casas si no es infinito su calculo……cada loco con su tema…..

    • hols

      #3 el que este en contra de las matematicas, por que no se va a LA MIERDA Y SE DEJA DE JODER?????!!!! PUTA GENTE INSERVIBLE ASI ESTA LA SOCIEDAD. HECHA UNA SUCIEDAD!!

  • gAbE

    Siento lastima por el servicio que trabaja en ese hotel 🙁

    xD

    Gran pensador este señor, ojala la gente no fuese tan conformista y le diese vueltas a la cabeza continuamente sobre todas clase de cuestiones.

  • yp

    muy buen articulo, sienmpre es conplicado el tema este de los infinitos, pero buena historia me gustó.

  • Mr X

    Ya me daba la impresión a mí que no se puede llenar todas las habitaciones del pedazo de hotel ese (pobres inquilinos, lo que tendrán que caminar por esos pasillos…).

    Relacionando los números naturales (Alef-0) con los reales (Alef-1) lo entiendo mejor (me recuerda a las clases de matemáticas y ciertas asignaturas de la carrera).

    Lo que no sé… ¿qué característica tienen los sucesivos Álef de ahí en adelante? ¿Por casualidad Álef-2 está compuesto por los números complejos? (Me da que esto último que dije es una burrada, jeje).

    En resumen: ¿alguna explicación clara para los distintos Álef-X que vienen después?

  • nico_blackbird

    che hay una habitacion? ,me quiero ir de vacaciones 😛

  • 666

    Es increíble los comentarios donde los ignorantes suponen que utilizar el cerebro mas allá de cálculos elementales puede ser una pérdida de tiempo; amigos míos, si nadie se hubiera propuesto a realizar esa clase de cálculos complejos supuestamente "inservibles", dudo mucho que la ciencia hubiera avanzado al nivel de que pudieran ustedes ahora sentarse en una computadora a escribir ridiculeces.

  • Rupert

    Muy buen artículo! Es de estas cosas que te quedan dando vueltas en la cabeza un buen rato. Supongo que al que le toque la del final del pasillo le van a tener que bajar la tarifa jejeje. O tendrán ascensores muy rápidos. Por otro lado nunca me habia puesto a pensar en que hay infinitos mayores que otros dependiendo de la cardinalidad del conjunto.. Excelente.

  • Galindezcba

    Error simple en el texto, dos palabras se repiten al hilo:

    "No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones."

    Saludos.

  • andres_net_de

    Estoy Deacuerdo con 666 … y con la misma duda que Mr X jejeje.. el concepto de infinito es facil y dificil a la vez, nos tenemos que acostumbrar ( los que estudiamos carreras de ciencias e ingenieria) a los simples conceptos que dan en el estudio de Limite, porque no da tiempo de profundizar ni tampoco hay esperanzas de lograrlo xD … uno lo acepta despues de un tiempo pero luego llegas y encuentras este tipo de conceptos e ideas que te hacen cuestionar todo.. es verdaderamente interesante pero tamb paradojico, muy buen articulo muy interesante !! =)

  • Saul

    Mira 666, conformate con saber que tu entendiste el concepto, no todos los mortales estan preparados para esta clase de conocimientos, la mayor parte se concentra en el pop y en politica, solo unos cuantos privilegiados con IQ superior a 135 comprenden el sector de inteligencia mundial, estos conceptos filosoficos matematicos son el fundamento para investigaciones como multiversos, fisica cuantica, quimica molecular.

    • Mr X

      ¿IQ = 135? Ojalá se tenga que bajar un poquito el nivel… Yo no creo que llegue a tanto! 😀
      (y creo que lo entiendo).

      PD @andres_net_de: Por lo menos en la ingeniería que estudio sí se comentó por encima los distintos tipos de infinito. Pero me sigue quedando la duda sobre los Alef-2 en adelante. Ningún valiente/sabio se atreve? 😉

    • 666

      Saul, lo dices como que si estas matemáticas no se aplicaran a la vida cotidiana. El marco de aplicación de la Teoría Cuántica (ya que la nombras) se aplica en el diseño de transistores, microprocesadores y todo tipo de componentes electrónicos; me parece que sólo ves las matemáticas como unas "clases fastidiosas" que dan en las universidades para "volver locos" a los estudiantes.

  • why23

    Saul… estem… solo tengo 15 años y entiendo perfectamente lo que planteó este señor, no hay que ser un genio, solo usar un poco las neuronas, jeje, y pues esto: "No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones" me recuerda a la expancion del universo, y pues creo que entonces de ser asi, si no existe un infinito numero de particulas, el universo podria estar delimitado por la cantidad de particulas existentes en el, y pues no sabia que existian diferentes niveles de infinidad.. siempre se aprende algo nuevo en neoteo… :)!! jeje xD salu2! buena nota Ariel!

  • Cusanelly

    no soy un fan de las matematicas, y no me llevo muy bien con ellas, pero he de admitir que son increibles y me agrado mucho este articulo, lo disfrute al maximo. Primera vez que comento un articulo, tremendo trabajo Ariel, te la comiste!!!

    • Mario Sacco

      ¡Quién lo hubiera pensado! Aunque yo siempre lo sospeché …

  • zilver21

    ooh que tema.. como en los viejos tiempos de esta pagina.. ya parecia una web de publicidad en estos ultimos meses, pero que bien que se reviven este tipo de temas.. saludos Ariel

    • Max Ferzzola

      Es que, a diferencia del hotel, los temas como este no son infinitos. Si quieren ver algo publicado en NeoTeo, como para ayudar, no tienen más que enviarnos un mail mediante el formulario de contacto. Saludos.

  • fernando

    yo tengo una pregunta:

    si en infinitos autobuses hay infinitos pasajeros…..
    nunca subirian los del segundo autobus, ya que nunca terminarina de bajar los del primero
    ¿ o me equivoco?

    • Max Ferzzola

      Es facil…los pones a todos frente a su ventanilla, y saltan fuera a la vez. FIN! 🙂

      Lo dijo Ariel, que no se puede acerca al PC porque está… cocinando XD

      • DraskyVanderhoff

        Ehm… Estamos suponiendo que el autobus tiene ventanillas infinitas ?
        Ademas el salto simultaneo de infintas personas hacia afuera del autobus de forma simultania no haria que este , por la presion ejercida del salto , saliera volando a una velocidad infinita fuera del planeta y asi nunca los otros infinitos pasajeros pudieran subir a los autobuses ?

        NOS QUEDARIAMOS SIN LOS INFINITOS AUTOBUSES CON LOS INFINITOS PASAJEROS QUE ESTAN ADENTRO SALTASEN!??!?!??!

        Y si no tiene infinitas ventanas o les decimos que salten uno despues de otro no terminan mas…
        Asi que la unica solucion es hacer lo mismo que con el hotel , que todos los que estan sentados en las sillas pares se pasen a las impares libres y ese infinito numero de gente nueva se siente en las pares :D.

        Y asi nadie se tuvo que hacer el rambo y ni tener que pagar infinitos vidrios rotos -.-

  • DraskyVanderhoff

    Tremendo Articulo !!! Realmente me encanto , este tema cuando lo vimos en mi facultad me resulto interesantisimo el concepto de infinitud , de como mientras vos tuvieras una función para poder relaciónar dicho conjunto infinito con un alef-0 ( nosotros los vimos con los naturales pero debe valer con cualquiera ) este conjunto tambien seria alef-0…
    Eso es asi en todos los niveles de alef ? digamos de una forma inductiva ?

  • AYIJAD FRESKIN

    que manden de vacaciones a todos los politicos para que no regresen jejeje

    • AYIJAD FRESKIN

      a ese hotel

      perdon por el editado…

  • EnerSolar

    Excelente articulo, Ariel. Esto me recuerda la definición del Infinito del Tiempo la perpetuidad. Para que piensen un poco, hagan de cuenta que todo el planeta Tierra fuera de hierro y que una paloma cada mil años la rozara con su ala. Cuando la paloma haya desgastado totalmente a la Tierra se habrá llegado al final de la perputuidad. Un saludo

  • andre

    Interesante artículo sobre la paradója del hotel infinito.
    Me recuerda la película de thriller culto el CUBO y el Hypercubo sobre las dimensiones y pasadizos infinitos!

  • rododendro

    yo siento que es mas sencilla la cosa, si la cantidad de pasajeros es infinita, nesesitara una cantidad de tiempo infinita para salir de los autobuses y entrar al hotel, y como el infinito, bueno, no tiene fin, el hotel no se llenara nunca, ya que los pasajeros estaran entrando a el por siempre.

    asi que seran unas largas vacaciones jajaja

  • Rezlav

    Quisiera remarcar la mención a Borges, un genio en esa cosa de escribir y en esa cosa de pensar. No se vayan de este mundo sin leer a Borges. En temas matemáticos, lean "el libro de arena", "el jardín de senderos que se bifurcan", "la biblioteca de babel", y un largo etcétera. Un tipo que entendió el concepto del infinito… y lo escribió. En todo el sentido de la frase: no se lo pierdan!

  • Overkomp Team

    DraskyVanderhoff: si el autobus es infinito tambien seria infinito su peso entonces no perjudicaria en nada la cantida de presion que se ejerciera sobre el.

  • huntercd

    Pobre de los pendejos trabajadores q se pasaban el infinito tiempo de su vida infinita, construyendo infinitas habitaciones, con infinitos materiales, para esos infinitos clientes que no dejaban de llegar infinitamente.

    Suerte para el dueño de ese hotel que entraba infinita cantidad de dinero sin parar durante el tiempo infinito.

    jejejeje

  • marceiveth

    Esa secretaria era la super genio!

  • Nuglam Laggan

    que buén argumento para un capítulo de los Klamstein…

  • xCleis

    Buenísimo el final! 😛

  • alfred_escom

    Me gustaría que así transmitieran los matemáticos (y científicos en general) sus asombrosos conocimientos con ejemplos del mundo real aunque sean conceptos tan abstractos como el infinito. Mejoraría la educación y el gusto por las matemáticas y las ciencias en todo el mundo. Yo concursé en la prepa en una Olimpiada de Matemáticas en México porque me gustaron las matemáticas desde niño, pero al 99% de mis compañeros no les gustaba :(.

    PD: en México hay un cientifico y locutor llamado Enrique Ganem que transmite un programa donde habla de noticias de la ciencia y la explica al estilo Neoteo (es decir, muy fácil de entender para todos). Sin querer hacerle promocion (solo soy un radioescucha) pueden escucharlo online en http://www.noticiasmvs.com/index.php a las 8pm hora de México o bajarse sus "podcast" de esta página: http://www.despachocontableagz.com/elexplicador.htm. No se arrepentiran

  • annie

    A mí me parece muy interesante su biografía yo quiero ser como el matemático.

  • annie

    A mi me parece muy interesante yo quisiera ser como el matematico 1+1=2

  • Esta entradad del blog está muy buena! y escrita con un pulcro cuidado matemático.

    Soy ingeniero en computación y me gustaría consultar una duda, ya que me apasiona esta ciencia y en mis ratos libres leo un poco al respecto…

    Leí en buenas fuentes (i.e mathworld.wolfram.com y algunas otras) sobre los números transfinitos y hay algo que me cuesta entender, tal vez porque aún no poseo la suficiente abstracción para la matemática pura. Es por ello que plantearé mi duda con la esperanza de que algún matemático por aquí la lea 😉

    DUDA:
    —–

    Entiendo que la cardinalidad de los naturales es aleph-0, que la de los racionales también, la de los reales es c, que la cardinalidades de partes de A es mayor que la cardinalidad de A para cualquier conjunto A, de modo que la cardinalidad de Partes de N, para N los naturales es mayor que la cardinalidad de N. Leí que la hipótesis del continuo es indemostrable, puesto que si se asume el axioma de elección o no con ZF, puede obtenerse o no su demostración, entonces el siguiente aleph a aleph-0 no tiene que ser c, el de los reales, podría haber otro o no según la axiomática utilizada, pero mi pregunta exacta es esta: (y por favor corríjanme si en lo anterior he dicho algo erróneo!)

    ¿Cuántos aleph hay? infinitos, o sea, tantos aleph como elementos tiene N, el conjunto de los naturales, o tantos aleph como elementos tiene R, el conjunto de los números reales…

    Muchas gracias de antemano! 🙂

  • Daniel Isaac

    Este siempre será una de mis entradas favoritas de Neoteo.