El problema de los dos sobres

Imagina por un momento que se te acerca un desconocido y te entrega un sobre cerrado con dinero en su interior. Y que, antes que puedas reponerte de la sorpresa ante semejante actitud, te ofrece cambiarlo por otro que lleva con él, sabiendo que el nuevo sobre puede tener o bien el doble de dinero que el otro, o bien la mitad. ¿Qué deberías hacer? Si alguna vez te encuentras ante tan poco probable situación, estarás enfrentando el problema de los dos sobres, una curiosa paradoja estadística que debes conocer.

Hay situaciones ante las que conviene estar preparado. Dejando de lado que es muy poco probable que alguien te haga una oferta como la anterior, en caso de que te enfrentes a un dilema similar -participando de algún concurso, por ejemplo- seguramente te gustaría sacar el mejor provecho posible a la oferta que te plantean. El problema de los dos sobres, uno de esos maquiavélicos inventos que los matemáticos y filósofos utilizan para torturamos, es el siguiente: nos dan a elegir entre dos sobres con dinero, diciéndonos que uno tiene el doble de dinero que el otro. Una vez que elegimos uno, nos dan la opción de cambiarlo por el otro. ¿Qué debemos hacer para obtener la mayor ganancia posible? ¿Es más conveniente quedarse con el sobre elegido en primer lugar o, por el contrario, conviene más hacer el cambio? Eso es lo que trataremos de determinar.

El problema de los dos sobres no es más que una curiosa paradoja.

Supongamos que la cantidad de dinero que hay en el sobre que elegimos primero es A. Eso significa que el otro sobre tiene una probabilidad del 50% de poseer el doble de ese monto (2A) y el 50% de tener la mitad (A/2). Como ambas situaciones son igualmente probables, la “esperanza matemática” de la cantidad que contiene la otra caja es
0,5*2A + 0,5*A/2 = 1,25A

Es decir, si cambiamos de sobre, obtenemos un 25% de ganancia. ¿Estupendo, verdad? Pero antes de que salgas corriendo a cambiar el sobre, deberías pensar un poco. En efecto, el razonamiento anterior puede hacerse exactamente igual si hubieses elegido el otro sobre, por lo que quizás cambiarlo no sea tan buena idea después de todo. Pero, ¿dónde está el fallo?

Veamos un ejemplo concreto. Supongamos que en el sobre elegido hay 1000 euros. Eso significa que es igualmente probable que en el otro haya 500 o 2000 euros. Por lo tanto, si cambio el sobre elegido por el otro, o bien pierdo 500 o bien gano 1000. Puesto que lo que puedo ganar es mayor (el doble, de hecho) de lo que puedo perder, no hay dudas de que me conviene cambiar el sobre elegido por el otro. Pero la paradoja estriba en que el mismo argumento se puede aplicar al otro sobre. O peor aún: una vez cambiado el sobre, podría utilizar una y otra vez este argumento para seguir cambiando los sobres indefinidamente. ¿Cómo es posible que en ambos casos pueda ganar más de lo que pierdo si cambio el sobre?

En realidad, lo que ganas o pierdes es lo mismo.

En realidad, el fallo se produce al pensar que el monto que ganarás, si ganas, es mayor que el monto que perderás, si pierdes. En realidad, lo que ganas o pierdes es lo mismo. Si A es la cantidad de euros que contiene el sobre elegido en primer lugar y el otro tiene o 2A o A/2 euros, podemos llamar B a la diferencia de los importes en los dos sobres o, lo que es lo mismo, B es el menor de los dos montos, o -mejor aún- B = A.

Si  ganas en el intercambio (cambiando un sobre con A euros por uno con 2A euros) ganarás A euros. ¿Correcto? Y si pierdes en el intercambio (cambiando un sobre con 2A euros por uno que solo tiene A euros) estarás perdiendo A euros. Esto significa que el monto que puedes ganar o perder es el mismo y que no hay alguna ventaja en cambiar el  sobre. Dado que la probabilidad de hallar el monto mayor es la misma si cambias o no el sobre, la paradoja desaparece. Esto significa que si alguien te ofrece un sobre con dinero, tranquilamente puedes tomarlo y marcharte sin esperar a que te ofrezcan cambiarlo por otro: la probabilidad de que ganes o pierdas en el intercambio son las mismas.

 

La paradoja de la elección

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Ariel Palazzesi

39 Comments

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    • Pués yo lo que haría depende de la cantidad de dinero que tuviera el primer sobre ,porque si tenía un millon la perdida podia ser mas aunque también la ganancia , de todas maneras no es lo mismo arriesgar un poco de dinero que un millón y pués aunque podía ser otro millón mas en ese caso aplicaría el refrán " más vale pajaro en mano que ciento volando"

  1. Escoges uno u otro sobre, siempre tendrás más dinero que antes de que te ofrecieran el sobre, así que sales ganando de todas maneras´.
    Otra cuestión es si después de escoger uno de los sobres, te dirán lo que había en el otro.

  2. Rayos, y yo que acepte cambiarlo la ultima vez que me paso. Suerte que simplemente era la factura de mi compañía de teléfono. ^^

  3. Yo lo golpearia y me quedaria con los dos sobre y mi ganancia seria de 50% o 100% mas a lo que me ofrecio al principio, despues de todo !me vio cara de pobre o ¿que?¡

    • acaso crees que se iba a dejar golpear , además si alguién llegara ha hacerte eso en la vida real desconfía pués nadie va regalando dinero al primero que ve a cambio de nada , claro que otra podría ser el programa televisivo de la camara oculta , en ese caso quedarías tu como un delincuente ante todo aquel que supiera eso, la mejor obción si me llegara a pasar en la vida real creo que sería no aceptar ningún sobre ya que incluso hay una droga que funciona por contacto y si el sobre o el dinero está impregnado con la excopolamina perderías la voluntad temporalmente y te sacarían si quisieran hasta las targetas de credito o algo peor como un secuestro etc…. yo la verdad espero no aceptarlo si me llega a pasar porque como dice el refrán más vale pajaro en mano que ciento volando y pues teniendo en cuenta como es el ser humano pués toy seguro que nadie va regalando sobres con dinero a la gente sin pedir algo a cambio aunque sea que uno salga en un programa televisivo

  4. Creo que la opcion de camnio solo es valida si puedo abrir primero el sobre que me dieron primero, asi si lo cambio puedo comparar el monsto del sobre inicial con el monto del sobre cambiado. Pero si solo me ofrecen cambiarlo sin saber el monto inicial nunca sabre si en verdad gane o perdi en el cambio… aunque el solo hecho que alguien me diera un sobre con dinero es ganancia.

  5. okok, pero todos tenemos un problema, nadie nos ha ofrecido un sobre con dinero, asi que la ganancia hasta el momento es…. tristemente cero 🙁
    Alguien me ofrece un sobre con dinero? 😀

  6. pues para mi creo que esos parafos estan de sobra y que la solucion era desde el principio mas simple sibre todo si te dicen que puede haber 50 % en cada uno de que toque ??!
    que LOCURA
    CREO QUE esta filosofia se saca las ideas de un mariconio !!

  7. todo para que al final de la nota digan que la paradija queda nulo, cerí que dirían olgo relevante, eso es obvio que si se elige uno u otro es la misma, al igualq ue tratar de cambiarlo, es logica.
    Además es preferible aceptar el primero, ya que tienes más que al principio, ya con eso sales ganando…¡Paradoja, va!!, tanto rollo para nada.

  8. Entonces recibo el sobre y me voy. Pero si insiste en cambiarlo y que debo hacerlo. Yo propongo que al cambiarlo yo reciba la mitad de mi sobre que cambie. Así ganarías mas. 🙂

  9. Es un excelente articulo para desestresarse ! divierte y es bueno saber que contamos con las matematicas para descifrar la paradoja de los sobres.

    DIVIERTANSE y sigan leyendo neoteo 🙂

  10. "Si ganas en el intercambio (cambiando un sobre con A euros por uno con 2A euros) ganaras , ganarás A euros. ¿Correcto? Y si pierdes en el intercambio (cambiando un sobre con 2A euros por uno que solo tiene A euros) estarás perdiendo A euros. Esto significa que el monto que puedes ganar o perder es el mismo y que no hay alguna ventaja en cambiar el sobre"

    Si tienes 1000 euros y ganas, tendras 2000 euros
    Si tienes 1000 euros y pierdes, tendras 500 euros.
    El monto que puedes ganar o perder *NO* es el mismo, y no hay ventaja ni desventaja en cambiar de sobre porque es azar y es imposible saber si sera mejorar o empeorar.

    • Claro que es lo mismo solo que estas confundiendo, si tienes un sobre de 1000 eruros y ganas, tendras 2000 euros, en tu segunda opción no puedes tener el sobre de 1000 euros, tienes en tus manos el de 2000 euros, por lo que si pierdes, pierdes 1000 euros.

      Entonces si es lo mismo.

      Saludos

  11. Yo me ofrezco voluntariamente para el experimento, Asi que entre todos junten dinero y metanlo en 2 sobres, y me ofrecen uno, XD…

  12. Es correcto decir que la probabilidad de ganar o perder son iguales.. pero lo que ganas y lo que pierdes no es igual y ese es el punto… me explico basta llevar este mismo ejemplo a extremos.. te dan un sobre con 1000 euros y te ofrecen cambiarlo por un sobre que puede tener 1.000.000 euros o puede tener 499 euros con igual probabilidad..¿queda claro? todos cambiarian el sobre por que la ganancia es mucho mayor que la perdida, osea acepto el riesgo (50%) de perder 1 euro por ganar 999.000 euros y para el caso del articulo ocurre lo mismo pero a menor escala en el premio y castigo.. ¿Aceptas correr el riesgo (50%) de perder 500 euros por ganar 1000 euros? Por lo tanto… El articulo esta malito, por que no explica claramente esto. 😛

    • Lo explica claramente: el otro sobre puede tener el doble de dinero o la mitad de dinero que el tuyo. Pero vos no sabes si el tuyo es el que tiene el doble que el otro o la mitad. Por eso es la misma posibilidad de ganar 1000 o 2000 euros (o lo que tengan).

  13. No es tan asi, el cambio de variable cuenta y es así matemáticamente no por una película. No se toma en cuenta el dinero que se puede ganar o perder, el tema es que te da una nueva oportunidad de cambiar la variable y eso si o si suma mas que dejarla igual.

  14. En México existe un show televisivo (Vas o no Vas!) que trata mas o menos de este asunto, a un tipo le ofrecen un portafolio de entre 21 y tiene que ir sacando portafolios teniendo la opción en cualquier momento de aceptar una oferta o quedarse con su portafolio.

  15. No. Supongamos que tenemos un sobre de 1000 euros y uno de 2000.

    Si tomo primero el de 1000 y decido cambiarlo, gano 1000. Si tomo primero el de 2000 y decido cambiarlo, pierdo 1000. Eso significa que la única forma de ganar aquí es que primero de tome el sobre de 1000 y lo cambiemos, y la única forma de perder es lo contrario, por lo que la conclusión del artículo es correcta. Es una sola situación la que tiene un lado perdedor y uno ganador, pero como son 2 sobres, uno piensa que cada sobre tiene una de ganar y una de perder, como si exisitiera una tercera cantidad para comparar.

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